Primitiva

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Em matemática, se A {\displaystyle A} $A$ é um conjunto de números reais e f {\displaystyle f} $f$ é uma função de A {\displaystyle A} $A$ em R {\displaystyle R} $R$ , diz-se que uma função F {\displaystyle F} $F$ de A {\displaystyle A} $A$ em R {\displaystyle R} $R$ é uma primitiva ou antiderivada de f {\displaystyle f} $f$ se a derivada de F {\displaystyle F} $F$ for igual a f {\displaystyle f} $f$ . Se f tiver uma primitiva, diz-se que f {\displaystyle f} $f$ é primitivável. Pode-se provar que, se A {\displaystyle A} $A$ for um intervalo com mais do que um ponto:

quaisquer duas primitivas diferem por uma constante, ou seja, se F1 e F2 forem primitivas de f {\displaystyle f} $f$ , então F1 − F2 é constante;
se f {\displaystyle f} $f$ for contínua então f é primitivável, o que resulta do teorema fundamental do cálculo.

Quando se primitiva uma função num intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) obtém-se uma família de primitivas na forma:

∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C , C ∈ R {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb {R} } $\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb {R}$

Primitivas básicas

Para fazer primitivas básicas de uma função é preciso ter o domínio de derivadas, pois este fato é preponderante, tendo uma função F ( x ) {\displaystyle F(x)} $F(x)$ na qual sua primitiva básica será uma função f ( x ) + C {\displaystyle f(x)+C} $f(x)+C$ , em que C {\displaystyle C} $C$ é uma constante, a derivada de f ( x ) + C {\displaystyle f(x)+C} $f(x)+C$ terá como resultado a função F ( x ) {\displaystyle F(x)} $F(x)$ , pode-se concluir que d f d x + d C d x = F ( x ) {\displaystyle {df \over dx}+{dC \over dx}=F(x)} ${df \over dx}+{dC \over dx}=F(x)$

O uso de primitivas básicas é muito importante porque seus conceitos são de extrema relevância para o teorema fundamental do cálculo.

Existem várias primitivas básicas, dentre as quais:

1- a função F ( x ) = x n {\displaystyle F(x)=x^{n}} $F(x)=x^{n}$ em que n ≠ -1, sua primitiva geral é f ( x ) = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle f(x)={x^{n+1} \over n+1}+C} $f(x)={x^{n+1} \over n+1}+C$

2- f ( x ) = x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{-1}} $f(x)=x^{-1}$ ou f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={1 \over x}} $f(x)={1 \over x}$ , então F ( x ) = ln ⁡ ( x ) + C {\displaystyle F(x)=\ln(x)+C} $F(x)=\ln(x)+C$ é a primitiva geral de f(x),pois f ′ ( x ) = 1 x = F ( x ) {\displaystyle f'(x)={1 \over x}=F(x)} $f'(x)={1 \over x}=F(x)$

3 -seja F ( x ) = e x {\displaystyle F(x)=e^{x}} $F(x)=e^{x}$ , então f ( x ) = e x + C {\displaystyle f(x)=e^{x}+C} $f(x)=e^{x}+C$ é a primitiva geral, pois f ′ ( x ) = e x = F ( x ) {\displaystyle f'(x)=e^{x}=F(x)} $f'(x)=e^{x}=F(x)$

4 -se F ( x ) = b x {\displaystyle F(x)=b^{x}} $F(x)=b^{x}$ , sua primitiva geral será f ( x ) = b x ln ⁡ ( x ) + C {\displaystyle f(x)={b^{x} \over \ln(x)}+C} $f(x)={b^{x} \over \ln(x)}+C$ +, pois f ′ ( x ) = b x = F ( x ) {\displaystyle f'(x)=b^{x}=F(x)} $f'(x)=b^{x}=F(x)$

5- a função F ( x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle F(x)=\cos(x)} $F(x)=\cos(x)$ , sua primitiva geral é f ( x ) = sin ⁡ ( x ) + C {\displaystyle f(x)=\sin(x)+C} $f(x)=\sin(x)+C$

6- se F ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle F(x)=\sin(x)} $F(x)=\sin(x)$ , sua primitiva geral f ( x ) = − cos ⁡ ( x ) + C {\displaystyle f(x)=-\cos(x)+C} $f(x)=-\cos(x)+C$

7 - F ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle F(x)=\sec ^{2}(x)} $F(x)=\sec ^{2}(x)$ , primitiva geral é f ( x ) = tan ⁡ ( x ) + C {\displaystyle f(x)=\tan(x)+C} $f(x)=\tan(x)+C$

8 - se F ( x ) = − csc 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle F(x)=-\csc ^{2}(x)} $F(x)=-\csc ^{2}(x)$ , sua primitiva geral é f ( x ) = cot ⁡ ( x ) + C {\displaystyle f(x)=\cot(x)+C} $f(x)=\cot(x)+C$

9- F ( x ) = sec ⁡ ( x ) ⋅ tan ⁡ ( x ) {\displaystyle F(x)=\sec(x)\cdot \tan(x)} $F(x)=\sec(x)\cdot \tan(x)$ , sua primitiva geral é f ( x ) = sec ⁡ ( x ) + C {\displaystyle f(x)=\sec(x)+C} $f(x)=\sec(x)+C$

10 - a função F ( x ) = csc ⁡ ( x ) ⋅ cot ⁡ ( x ) {\displaystyle F(x)=\csc(x)\cdot \cot(x)} $F(x)=\csc(x)\cdot \cot(x)$ , sua primitiva geral é f ( x ) = csc ⁡ ( x ) + C {\displaystyle f(x)=\csc(x)+C} $f(x)=\csc(x)+C$

11-seja F ( x ) + G ( x ) {\displaystyle F(x)+G(x)} $F(x)+G(x)$ , Z ( x ) − H ( x ) {\displaystyle Z(x)-H(x)} $Z(x)-H(x)$ ou V ( x ) + J ( x ) − W ( x ) {\displaystyle V(x)+J(x)-W(x)} $V(x)+J(x)-W(x)$ , suas primitivas são f ( x ) + g ( x ) + C {\displaystyle f(x)+g(x)+C} $f(x)+g(x)+C$ ,

z ( x ) − h ( x ) + c {\displaystyle z(x)-h(x)+c} $z(x)-h(x)+c$ e v ( x ) + j ( x ) − w ( x ) + C {\displaystyle v(x)+j(x)-w(x)+C} $v(x)+j(x)-w(x)+C$

Exemplo no cálculo de uma primitiva

1) F ( x ) = x 2 {\displaystyle F(x)=x^{2}} $F(x)=x^{2}$

f ( x ) = x ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) + C = X 3 3 + C {\displaystyle f(x)={x^{(2+1)} \over {(2+1)}}+C={X^{3} \over 3}+C}

f(x)={x^{(2+1)} \over {(2+1)}}+C={X^{3} \over 3}+C

2) G ( x ) = sec 2 {\displaystyle G(x)=\sec ^{2}} $G(x)=\sec ^{2}$

g ( x ) = tan ⁡ ( x ) + C {\displaystyle g(x)=\tan(x)+C}

g(x)=\tan(x)+C

3) H ( x ) − K ( x ) = e x − cos ⁡ ( x ) {\displaystyle H(x)-K(x)=e^{x}-\cos(x)} $H(x)-K(x)=e^{x}-\cos(x)$

h ( x ) − k ( x ) = e x − sin ⁡ ( x ) + C {\displaystyle h(x)-k(x)=e^{x}-\sin(x)+C}

h(x)-k(x)=e^{x}-\sin(x)+C

4) F ( x ) + G ( x ) = 1 x + x n {\displaystyle F(x)+G(x)={1 \over x}+x^{n}} $F(x)+G(x)={1 \over x}+x^{n}$ , sua primitiva geral é f ( x ) + g ( x ) = ln ⁡ ( x ) + x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle f(x)+g(x)=\ln(x)+{x^{n+1} \over n+1}+C} $f(x)+g(x)=\ln(x)+{x^{n+1} \over n+1}+C$

Z ( x ) − H ( x ) = cos ⁡ ( ˙ x ) − e x {\displaystyle Z(x)-H(x)=\cos {\dot {(}}x)-e^{x}}

Z(x)-H(x)=\cos {\dot {(}}x)-e^{x}

, sua primitiva geral é z ( x ) − h ( x ) = sin ⁡ ( x ) − e x + C {\displaystyle z(x)-h(x)=\sin(x)-e^{x}+C}

z(x)-h(x)=\sin(x)-e^{x}+C

V ( x ) + J ( x ) − W ( x ) = sin ⁡ ( x ) + b x − e x {\displaystyle V(x)+J(x)-W(x)=\sin(x)+b^{x}-e^{x}}

V(x)+J(x)-W(x)=\sin(x)+b^{x}-e^{x}

, sua primitiva geral é v ( x ) + j ( x ) − w ( x ) = − cos ⁡ ( x ) + b x ln ⁡ ( x ) − e x + C {\displaystyle v(x)+j(x)-w(x)=-\cos(x)+{b^{x} \over \ln(x)}-e^{x}+C}

v(x)+j(x)-w(x)=-\cos(x)+{b^{x} \over \ln(x)}-e^{x}+C

4) P s e n x {\displaystyle Psen{\sqrt {x}}} $Psen{\sqrt {x}}$

Usaremos os métodos da primitivação por substituição e da primitivação por partes. Façamos a seguinte substituição: x = t {\displaystyle {\sqrt {x}}=t}

{\sqrt {x}}=t

Temos então que: x = t 2 d x d t = 2 t {\displaystyle x=t^{2}\ \ {\frac {dx}{dt}}=2t}

x=t^{2}\ \ {\frac {dx}{dt}}=2t

Substituindo ficamos então com: P s e n x = P s e n ( t ) 2 t {\displaystyle Psen{\sqrt {x}}=Psen{(t)}2t}

Psen{\sqrt {x}}=Psen{(t)}2t

Aplicamos agora a primitivação por partes u ′ = s e n t u = − c o s t {\displaystyle u'=sen{t}\ \ u=-cos{t}}

u'=sen{t}\ \ u=-cos{t}

v = 2 t v ′ = 2 {\displaystyle v=2t\ \ v'=2}

v=2t\ \ v'=2

P s e n ( t ) 2 t = − c o s ( t ) 2 t − P 2 ( − c o s ( t ) ) = − c o s ( t ) 2 t + 2 P c o s ( t ) = {\displaystyle Psen{(t)}2t=-cos(t)2t-P2(-cos(t))=-cos(t)2t+2Pcos(t)=}

Psen{(t)}2t=-cos(t)2t-P2(-cos(t))=-cos(t)2t+2Pcos(t)=

= − c o s ( t ) 2 t + 2. s e n ( t ) + C = 2 ( − t . c o s ( t ) + s e n ( t ) ) + C {\displaystyle =-cos(t)2t+2.sen(t)+C=2(-t.cos(t)+sen(t))+C}

=-cos(t)2t+2.sen(t)+C=2(-t.cos(t)+sen(t))+C

fazendo agora a substituição inicial t = x {\displaystyle t={\sqrt {x}}}

t={\sqrt {x}}

temos o resultado final: P s e n x = 2 ( − x . c o s x + s e n x ) + C {\displaystyle Psen{\sqrt {x}}=2(-{\sqrt {x}}.cos{\sqrt {x}}+sen{\sqrt {x}})+C}

Psen{\sqrt {x}}=2(-{\sqrt {x}}.cos{\sqrt {x}}+sen{\sqrt {x}})+C

Ver também

Integral

Referências

↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals 6th ed. : Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5 Verifique o valor de |url-access=registration (ajuda)
↑ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus 9th ed. : Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4
↑ STEWART, james. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Tradução de: EZ2 Translate.
↑ STEWART, james. Cálculo. 7. ed. sp: Cengage Learning, 2013. Tradução de: EZ2 Translate.

Ligações externas

«Cálculo de primitivas online (The Wolfram Integrator)»

v d e Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade