Corpo de Levi-Civita

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Corpo de Levi-Civita, em matemática, é um corpo descrito pelo jovem matemático Tullio Levi-Civita, como um corpo ordenado que contém elementos infinitesimais e é Cauchy completo.

Um elemento x deste corpo pode ser escrito como a série formal de potências:

x = x q 1 ϵ q 1 + x q 2 ϵ q 2 + x q 3 ϵ q 3 + … {\displaystyle x=x_{q_{1}}\epsilon ^{q_{1}}+x_{q_{2}}\epsilon ^{q_{2}}+x_{q_{3}}\epsilon ^{q_{3}}+\ldots \,}

em que qj são números racionais crescentes e xq são números reais.

Neste corpo pode ser definida uma relação de ordem, e, para elementos positivos, é possível definir quando um número é infinitamente maior (ou menor) que outro: a > 0 é infinitamente menor que b > 0 (escreve-se a << b) quando, qualquer que seja n natural, n . a < b. Existem elementos infinitesimais e elementos infinitamente grandes neste corpo.

Neste corpo, com a topologia induzida pela ordem, toda sequência de Cauchy converge.

Neste corpo, assim como no corpo dos números reais, todo número positivo tem duas raízes quadradas, nenhum número negativo tem raiz quadrada, e todo número tem uma única raiz n-ésima, para n ímpar. O corpo é um corpo real fechado, ou seja, todo polinômio de grau ímpar tem raiz e todo número positivo tem raiz quadrada.

Este corpo é a menor extensão dos reais que é um corpo ordenado não arquimediano, Cauchy completo e real fechado.

Notas e referências

Notas

1. ↑ O texto de Martin Berz diz que o corpo foi descoberto por Levi-Civita; a ideia de que objetos matemáticos existem e são descobertos é chamada de platonismo.
2. ↑ O texto de Shamseddine apresenta esta série como um somatório, e usa d em vez de ε; aqui foi usado ε pois este símbolo é, intuitivamente, associado a um infinitesimal.
3. ↑ Conforme artigo corpo real fechado.
4. ↑ A menos de isomorfismo.

Referências

1. ↑ Martin Berz, 2. Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields, 1. Introduction, p.21
2. ↑ a b c d e Khodr Shamseddine, Advances in p-adic and Non-archimedian Analysis (2010), p.219
3. ↑ Martin Berz, 2. Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields, 3. Order Structure, p.27
4. ↑ Martin Berz, 2. Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields, 4. Topology, Convergence, and Cauchy-Completeness, p.28
5. ↑ Martin Berz, 2. Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields, 2. Algebraic Properties of R, p.26

v d e Infinitesimais
História	Adigualdade Cálculo Notação de Leibniz Símbolo integral Críticas à análise não-standard The Analyst O Método dos Teoremas Mecânicos Princípio de Cavalieri
Ramos correlacionados	Análise não padronizada Cálculo não-standard Teoria interna dos conjuntos Geometria diferencial sintética Análise não-standard construtiva
Formalizações	Diferencial Número hiper-real Número dual Número surreal
Conceitos individuais	Standard part function Transfer principle Hiperinteiro Teorema do incremento Monad Conjunto interno Corpo de Levi-Civita Conjunto hiperfinito Princípio da continuidade Overspill Micro-continuidade Transcendental law of homogeneity
Pessoas	Gottfried Wilhelm Leibniz Abraham Robinson Pierre de Fermat Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler
Física/Engenharia	Deformação relativa Equação do pêndulo
Livros texto	Analyse des Infiniment Petits Elementary Calculus Cours d'Analyse