Hipótese do continuum

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A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:

Não existe nenhum conjunto com cardinalidade maior que a do conjunto dos números inteiros e menor que a do conjunto dos números reais.

Aqui mais elementos e menos elementos tem um sentido muito preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

Nem verdadeira nem falsa

Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto:

em 1938 , Kurt Gödel demonstrou que a negação da hipótese do continuum não poderia ser provada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel mais escolha, se eles são consistentes.
em 1963, Paul Cohen demonstrou que a hipótese do continuum também não poderia ser provada a partir dos mesmos axiomas, se eles são consistentes.

Deste modo a hipótese do continuum é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independência leva alguns matemáticos a considerarem que os axiomas de Zermelo-Fraenkel não são os mais suficientes para resolver problemas significativos da teoria de conjuntos e que deveriam ser considerados axiomas adicionais para tornar esta hipótese verdadeira ou falsa. Em particular, Gödel, apesar de ter demonstrado a sua consistência, considerava a possibilidade de que novos axiomas permitissem refutar a Hipótese do Contínuo.

Hipótese do Continuum generalizada

Aleph (א) é uma letra usada para representar cardinais infinitos. A cardinalidade dos conjunto dos números inteiros é ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} $\aleph _{0}$ , o cardinal seguinte é ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} $\aleph _{1}$ , etc. Usando os números cardinais א, a hipótese do Continuum pode ser escrita como:

ℵ 1 = 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}

\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}

A generalização desta hipótese (que não pode ser provada a partir dela) é que para qualquer ordinal α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ :

ℵ α + 1 = 2 ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}

\aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}

Um cuidado deve ser observado na fórmula acima: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal enquanto que o tratamento de 2 ℵ α {\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}\,} $2^{\aleph _{\alpha }}\,$ usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definição, um número cardinal, mas a recíproca não é verdadeira.

Cardinalidade do contínuo

Em ZFC, a teoria dos conjuntos com os axiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, a cardinalidade do contínuo está muito indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demonstrado por König, sobre os valores que o contínuo não pode tomar, pois o denominado teorema de König mostra:

Z F C ⊢ 2 ℵ 0 ≠ ℵ ω {\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }\,}

\mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }\,

O mesmo acontece para outros cardinais de cofinalidade ω {\displaystyle \omega ^{\,}} $\omega ^{\,}$ :

Z F C ⊢ 2 ℵ 0 ≠ ℵ ω + ω {\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega +\omega }\,}

\mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega +\omega }\,

Z F C ⊢ 2 ℵ 0 ≠ ℵ ω ω {\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega _{\omega }}\,}

\mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega _{\omega }}\,

Seja Con ( T ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(T\right)} ${\mbox{Con}}\left(T\right)$ o enunciado " T {\displaystyle T^{\,}} $T^{\,}$ é consistente". Como enunciado acima, Gödel demonstrou:

Con ( Z F C ) ⇒ Con ( Z F C + 2 ℵ 0 = ℵ 1 ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}\right)}

{\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}\right)

Usando forçamento (forcing) os seguintes resultados podem ser demonstrados:

Con ( Z F C ) ⇒ Con ( Z F C + 2 ℵ 0 = ℵ n ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}\right)}

{\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}\right)

para qualquer n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} $n\geq 2$ . De maneira mais geral, o contínuo pode ser qualquer cardinal regular não enumerável. Por exemplo:

Con ( Z F C ) ⇒ Con ( Z F C + 2 ℵ 0 = ℵ ω + 42 ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{\omega +42}\right)}

{\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{\omega +42}\right)

Con ( Z F C ) ⇒ Con ( Z F C + 2 ℵ 0 = ℵ ω 1 ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{\omega _{1}}\right)}

{\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{\omega _{1}}\right)

Se denominarmos WI o enunciado "existe um cardinal fracamente inacessível", então vale:

Con ( Z F C + W I ) ⇒ Con ( Z F C + `` 2 ℵ 0 é fracamente inacessível'' ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC+WI} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +{\mbox{``}}2^{\aleph _{0}}\;\;{\mbox{é fracamente inacessível''}}\right)}

{\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC+WI} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +{\mbox{``}}2^{\aleph _{0}}\;\;{\mbox{é fracamente inacessível''}}\right)

Referências

↑ Gödel, K., Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman. Volume II: Publications 1938–1974 ISBN 9780195039726 / Paperback:ISBN 9780195147216, p. 1--101.
↑ Gödel, K., ibid., p. 264.
↑ KUNEN (1980), p. 55 e 281.
↑ Ibid.

Bibliografia

KUNEN, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9

v d e Problemas de Hilbert
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine