Integral imprópria

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Cálculo
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Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
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Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em cálculo, uma integral definida ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} é chamada de imprópria em dois casos :

• quando o intervalo é infinito, ou seja, ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx} ou ∫ − ∞ b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}
• quando a função f tem uma descontinuidade infinita em .

Ou seja, uma integral imprópria é o limite de uma integral definida quando o ponto final do intervalo ("a" ou "b", no caso acima) se aproxima 1) de um número real especificado, 2) de menos infinito ou 3) de mais infinito. Em alguns casos, os dois lados do intervalo se aproximam de limites.

Tipo 1: intervalos infinitos

uma integral imprópria do primeiro tipo.

Uma integral imprópria do tipo 1 da função "f" é o limite de integrais sobre intervalos finitos. "f" não precisa necessariamente ser uma função positiva, mas se for, podemos interpretar qualquer uma das definições abaixo como uma área:

• Se uma integral ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} existe para cada número b ≥ a {\displaystyle b\geq a} , então

∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx} = lim b → ∞ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle =\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx} é uma integral imprópria.

• Igualmente, se uma integral ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} existe para cada número a ≤ b {\displaystyle a\leq b} , então

∫ − ∞ b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx} = lim a → − ∞ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle =\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx} é uma integral imprópria.

Tipo 2: funções descontínuas

Uma integral imprópria de Riemann do segundo tipo. Repare a assíntota vertical. A integral imprópria ∫ 0 ∞ d x ( x + 1 ) x = π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }
é ao mesmo tempo do tipo 1 e do tipo 2.

• Se a função "f" é contínua em "a" e descontínua em "b" (ou seja, ), então

∫ a b f ( x ) d x = lim c → a + ∫ c b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx}

Convergência e divergência

As integrais impróprias são chamadas de convergentes se os respectivos limites existem (como números), e divergentes se os limites não existem.

Se as integrais impróprias do tipo 1 ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx} e ∫ − ∞ b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx} são convergentes, então podemos definir

∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ a ∞ f ( x ) d x + ∫ − ∞ a f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx+\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx}

Exemplos

• A integral imprópria

∫ 1 ∞ d x = lim b → ∞ ∫ 1 b d x = lim b → ∞ l n | x | 1 b {\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}\left\,dx=\lim _{b\to \infty }ln\left|x\right\vert _{1}^{b}} = lim b → ∞ = lim b → ∞ = ∞ {\displaystyle =\lim _{b\to \infty }\left=\lim _{b\to \infty }\left=\infty } .

Portanto, o limite não existe como número, e assim esta integral imprópria do tipo 1 é divergente .

Referências

1. ↑ a b c d STEWART, James. Cálculo Vol. I. 2ª reimpressão da 4ª edição de 2001. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. ISBN 85-221-0235-X. Seção 7.8, páginas 523 a 531

v d e Integrais
Integração numérica Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de Burkill Integral de Bochner Integral de Daniell Integral de Darboux Integral de Henstock–Kurzweil Integral de Haar Integral de Hellinger Integral de Khinchin Integral de Kolmogorov Integral de Lebesgue–Stieltjes Integral de Pettis Integral de Pfeffer Integral de Riemann-Stieltjes Integral regulada Métodos Integração por partes Integração por substituição Integração da função inversa Ordem de integração (cálculo) Substituições trigonométricas Integração por decomposição em frações parciais Integração por fórmulas de redução Integração usando derivadas paramétricas Integração usando a fórmula de Euler Diferenciação sob o sinal de integral Integração de contorno Integrais impróprias Integral imprópria Integral Gaussiana Integrais estocásticas Integral de Itō Integral de Stratonovich Integral de Skorokhod