Medida (matemática)

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imagem representando a medida

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva (+)

Uma medida positiva definida numa σ-algebra X de subconjuntos de um conjunto S é uma função μ : X → = b − a {\displaystyle \lambda =b-a\,\!}

Medida complexa

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função μ : X → C {\displaystyle \mu :X\to \mathbb {C} \,\!} tal que:

• μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\emptyset )=0}
• μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = ∑ i = 1 ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})} , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos

• Seja f : R → C {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} \,} uma função complexa Lebesgue integrável. Então

ν ( E ) := ∫ E f ( x ) d μ {\displaystyle \nu (E):=\int _{E}f(x)d\mu \,} define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de R . {\displaystyle \mathbb {R} .}

Propriedades

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

• Medida completa:

Se Z {\displaystyle Z\,} tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

• Medida invariante por translações:

μ ( A + λ ) = μ ( A ) ,     ∀ A ∈ X {\displaystyle \mu (A+\lambda )=\mu (A),~~\forall A\in X\,} , onde A + λ = { x + λ : x ∈ A } {\displaystyle A+\lambda =\{x+\lambda :x\in A\}}

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

• Medida de Borel:

Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

• Regularidade interior:

μ ( A ) = sup K ⊆ A μ ( K ) ,     ∀ A ∈ X {\displaystyle \mu (A)=\sup _{K\subseteq A}\mu (K),~~\forall A\in X} e K {\displaystyle K\,} são compactos.

• Regularidade exterior:

μ ( A ) = inf A ⊆ V μ ( V ) ,     ∀ A ∈ X {\displaystyle \mu (A)=\inf _{A\subseteq V}\mu (V),~~\forall A\in X} e V {\displaystyle V\,} são abertos.

• Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.

μ ( S ) < ∞ {\displaystyle \mu (S)<\infty \,}

• Medida σ − {\displaystyle \sigma -} finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

S = ⋃ n = 1 ∞ E n ,     μ ( E n ) < ∞ {\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n},~~\mu (E_{n})<\infty }

• Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita

μ ( K ) < ∞ {\displaystyle \mu (K)<\infty \,} , para todo compacto K {\displaystyle K\,}

Referências

1. ↑ Fernando de Bernardini, Diego (2007). «monografiaDiego» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Distribuições Subexponenciais Introdução e Exemplos: 15. Consultado em 20 de abril de 2024 

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