Paridade

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Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, ou seja, seu resultado é um número sem casas decimais, caso contrário esse número é dito ímpar. Alguns números pares são 2, 4, 6, 8, 10 e assim por diante.

Definição

Seja P o conjunto dos números inteiros pares e I o conjunto formado pelos números inteiros ímpares, então:

P = { x ∈ Z | x = 2 y , y ∈ Z } {\displaystyle P=\left\{x\in \mathbb {Z} |x=2y,y\in \mathbb {Z} \right\}}

P=\left\{x\in \mathbb {Z} |x=2y,y\in \mathbb {Z} \right\}

I = { x ∈ Z | x = 2 y − 1 , y ∈ Z } {\displaystyle I=\left\{x\in \mathbb {Z} |x=2y-1,y\in \mathbb {Z} \right\}}

I=\left\{x\in \mathbb {Z} |x=2y-1,y\in \mathbb {Z} \right\}

Propriedades dos números pares e ímpares

Sejam P {\displaystyle P} $P$ o conjunto dos números pares e I {\displaystyle I} $I$ o conjunto dos números ímpares. Tendo como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, temos as seguintes propriedades:

P ⊂ Z {\displaystyle P\subset \mathbb {Z} } $P\subset \mathbb {Z}$
I ⊂ Z {\displaystyle I\subset \mathbb {Z} } $I\subset \mathbb {Z}$
P ∩ I = ∅ {\displaystyle P\cap I=\emptyset } $P\cap I=\emptyset$
P ∪ I = Z {\displaystyle P\cup I=\mathbb {Z} } $P\cup I=\mathbb {Z}$
P = I ¯ = Z − I {\displaystyle P={\bar {I}}=\mathbb {Z} -I} $P={\bar {I}}=\mathbb {Z} -I$ , onde a barra denota o complementar do conjunto.
I = P ¯ = Z − P {\displaystyle I={\bar {P}}=\mathbb {Z} -P} $I={\bar {P}}=\mathbb {Z} -P$

Seja p {\displaystyle p} $p$ um número par qualquer e i {\displaystyle i} $i$ um número ímpar qualquer, têm-se as seguintes propriedades sobre operações aritméticas:

A soma ou subtração de dois números pares resulta em um número par:

p ± p ′ = 2 n ± 2 n ′ = 2 ( n ± n ′ ) = p ″ {\displaystyle p\pm p'=2n\pm 2n'=2(n\pm n')=p''\,\!}

p\pm p'=2n\pm 2n'=2(n\pm n')=p''\,\!

A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par:

i ± i ′ = ( 2 n − 1 ) ± ( 2 n ′ − 1 ) = 2 n ± 2 n ′ + c = 2 ( n ± n ′ + c ) = p {\displaystyle i\pm i'=(2n-1)\pm (2n'-1)=2n\pm 2n'+c=2(n\pm n'+c)=p\,\!}

i\pm i'=(2n-1)\pm (2n'-1)=2n\pm 2n'+c=2(n\pm n'+c)=p\,\!

A soma ou subtração de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar:

p ± i = p ± ( p ′ − 1 ) = ( p ± p ′ ) ± 1 = i ′ {\displaystyle p\pm i=p\pm (p'-1)=(p\pm p')\pm 1=i'\,\!}

p\pm i=p\pm (p'-1)=(p\pm p')\pm 1=i'\,\!

A multiplicação de um número par por um número par resulta em um número par:

p × p ′ = ( 2 n ) ( 2 n ′ ) = 2 ( 2 n n ′ ) = p ″ {\displaystyle p\times p'=(2n)(2n')=2(2nn')=p''\,\!}

p\times p'=(2n)(2n')=2(2nn')=p''\,\!

A multiplicação de um número ímpar por um número ímpar resulta em um número ímpar:

i × i ′ = ( 2 n − 1 ) ( 2 n ′ − 1 ) = 2 n 2 n ′ − 2 n − 2 n ′ + 1 = 2 ( 2 n n ′ ) − 2 n − 2 n ′ + 1 = p − p ′ − p ″ + 1 = p ‴ + 1 = i ″ {\displaystyle i\times i'=(2n-1)(2n'-1)=2n2n'-2n-2n'+1=2(2nn')-2n-2n'+1=p-p'-p''+1=p'''+1=i''\,\!}

i\times i'=(2n-1)(2n'-1)=2n2n'-2n-2n'+1=2(2nn')-2n-2n'+1=p-p'-p''+1=p'''+1=i''\,\!

A multiplicação de um número par por um número ímpar resulta em um número par:

p × i = ( 2 n ) ( 2 n ′ − 1 ) = 2 n 2 n ′ − 2 n = 2 ( 2 n n ′ − n ) = p ′ {\displaystyle p\times i=(2n)(2n'-1)=2n2n'-2n=2(2nn'-n)=p'\,\!}

p\times i=(2n)(2n'-1)=2n2n'-2n=2(2nn'-n)=p'\,\!

As propriedades de paridade são restritas à divisão devido ao fato do conjunto dos números inteiros não ser fechado para a operação de divisão. No entanto, se o quociente de uma divisão entre dois números pares é inteiro, então ele também é par se o dividendo possuir mais fatores de dois que o divisor:

p ÷ p ′ = 2 a n ÷ 2 a ′ n ′ = 2 a − a ′ ( n ÷ n ′ ) = p ″ se, e somente se, 0 < a ′ < a {\displaystyle p\,\div \,p'=2^{a}n\,\div \,2^{a'}n'=2^{a-a'}\left(n\,\div \,n'\right)=p''{\mbox{ se, e somente se, }}0<a'<a}

p\,\div \,p'=2^{a}n\,\div \,2^{a'}n'=2^{a-a'}\left(n\,\div \,n'\right)=p''{\mbox{ se, e somente se, }}0<a'<a

Métodos de inferência

Existem diversos métodos para determinar se um número dado é par ou ímpar. O mais fácil deles e, consequentemente, o mais utilizado é baseado na observação do último digito do número que esteja avaliando: caso o último dígito do número seja divisível por dois, isto é, se o resto da divisão do mesmo por dois for igual a zero então o número é par, caso contrário, é ímpar.

Exemplos:

6 ⇒ 6 ÷ 2 = 3 , resto = 0 ⇒ 6 é par {\displaystyle 6\Rightarrow 6\div 2=3,{\mbox{resto}}=0\Rightarrow 6{\mbox{ é par}}}

6\Rightarrow 6\div 2=3,{\mbox{resto}}=0\Rightarrow 6{\mbox{ é par}}

282 ⇒ 2 ÷ 2 = 1 , resto = 0 ⇒ 282 é par {\displaystyle 282\Rightarrow 2\div 2=1,{\mbox{resto}}=0\Rightarrow 282{\mbox{ é par}}}

282\Rightarrow 2\div 2=1,{\mbox{resto}}=0\Rightarrow 282{\mbox{ é par}}

4.875.979.749 ⇒ 9 ÷ 2 = 4 , resto = 1 ≠ 0 ⇒ 4.875.979.749 é ímpar {\displaystyle 4.875.979.749\Rightarrow 9\div 2=4,{\mbox{resto}}=1\neq 0\Rightarrow 4.875.979.749{\mbox{ é ímpar}}}

4.875.979.749\Rightarrow 9\div 2=4,{\mbox{resto}}=1\neq 0\Rightarrow 4.875.979.749{\mbox{ é ímpar}}

Em outras palavras, neste método o último dígito é avaliado como um número isolado e considera-se que o número que originou o dígito mantém a mesma característica. Esse método é válido devido ao fato de utilizarmos por padrão o sistema de base 10 para representar os números. Como 10 é um número par, cada casa do número nesta base é formada por combinações de pares de números de mesma grandeza:

Base 10 → ( 0 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 ) , ( 6 , 7 ) , ( 8 , 9 ) {\displaystyle {\mbox{Base }}10\rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)}

{\mbox{Base }}10\rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)

Embora este método de avaliação seja válido nos sistemas numéricos mais comuns (como o Octal, base 8; e o Hexadecimal, base 16), este método não é válido em um sistema numérico com base ímpar. No sistema de base 7, por exemplo, 2(7) é par, mas 12(7) é ímpar. Isso acontece porque cada casa do número nesta base contém um número sem par da mesma grandeza, obrigando-o a fazer par com o número da casa seguinte:

Base 7 → ( 0 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 ) , ( 6 , 10 ) {\displaystyle {\mbox{Base }}7\rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6{\color {Red},10})}

{\mbox{Base }}7\rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6{\color {Red},10})

Paridade do número zero

Zero objetos divididos em dois grupos iguais

O zero é um número par. Esta afirmação é feita devido às seguintes razões:

ele é um número inteiro múltiplo de dois, isto é, ele pode ser escrito na forma 2n, sendo n inteiro;
o zero é divisível por 2;
o zero é cercado por número ímpares;
o zero é o resultado da soma de algum número inteiro com o seu simétrico;
zero elementos podem ser divididos em dois grupos com um número igual de elementos;
o zero, interpretado como número par, é compatível com todas as regras das somas/subtrações e produtos de números pares e ímpares.

Ou seja, o zero compartilha todas as propriedades comuns a todos os números pares, portanto, conclui-se que ele é par. Popularmente, existe uma definição que determina o zero como sendo um número "nem fração nem ímpar". Esta afirmação geralmente vem acompanhada pela justificativa que o zero seria um "número neutro" e que a propriedade não se aplicaria ao mesmo. Esta afirmação é falsa devido ao fato do conceito de elemento neutro estar associada a uma operação e não a um conjunto numérico. De fato, o zero é o elemento neutro das operações de adição e subtração, mas não é, por exemplo, das operações de multiplicação e divisão.

Referências

↑ Penner, Robert C. (1999). «1». Discrete Mathematics. Proof Techniques and Mathematical Structures (em inglês). Singapore: World Scientific. p. 34. ISBN 981-02-4088-0