Operação justaposição

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (notícias • livros • acadêmico)). (Abril de 2019)

Seja ${\displaystyle (X,\tau )}$ um espaço topológico, ${\displaystyle \Omega (X,x_{0},x_{1})}$ o conjunto de todos os caminhos contínuos de ${\displaystyle x_{0}}$ até ${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle \Omega (X,x_{1},x_{2})}$ o conjunto de todos os caminhos contínuos de ${\displaystyle x_{1}}$ até ${\displaystyle x_{2}}$ e ${\displaystyle \alpha :\rightarrow X\,\,\in \Omega (X,x_{0},x_{1})}$ e ${\displaystyle \beta :\rightarrow X\,\,\in \Omega (X,x_{1},x_{2})}$ dois caminhos em ${\displaystyle X}$.

A operação justaposição entre caminhos de um espaço topológico,^[1][2] denotada por ${\displaystyle \alpha *\beta }$, e definida por:

${\displaystyle \Omega (X,x_{0},x_{1})\times \Omega (X,x_{1},x_{2})\rightarrow \Omega (X,x_{0},x_{2})}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )\mapsto \alpha *\beta }$

Onde ${\displaystyle \alpha *\beta }$ denota o caminho justaposto:

${\displaystyle \alpha *\beta ={\begin{cases}\alpha (2t),0\leq t\leq {\dfrac {1}{2}},\\\beta (2t-1),{\dfrac {1}{2}}\leq t<1\end{cases}}}$

Observe-se que a operação justaposição não é associativa. Com efeito, sejam:

${\displaystyle \alpha \in \Omega (X,x_{0},x_{1})}$

${\displaystyle \beta \in \Omega (X,x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle \gamma \in \Omega (X,x_{2},x_{3})}$

Tem-se:

${\displaystyle (\alpha *\beta )*\gamma ={\begin{cases}\alpha (2t)\,\,0\leq t\leq {\dfrac {1}{2}},\\\beta (4t-2)\,\,{\dfrac {1}{2}}\leq t\leq {\dfrac {3}{4}},\\\gamma (4t-3)\,\,{\dfrac {3}{4}}\leq t\leq 1\end{cases}}}$

e

${\displaystyle \alpha *(\beta *\gamma )={\begin{cases}\alpha (4t)\,\,0\leq t\leq {\dfrac {1}{4}}\\\beta (4t-1)\,\,{\dfrac {1}{4}}\leq t\leq {\dfrac {1}{2}}\\\gamma (2t-2)\,\,{\dfrac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}}$

Notamos que os caminhos ${\displaystyle (\alpha *\beta )*\gamma }$ e ${\displaystyle \alpha *(\beta *\gamma )}$ são diferentes, porém, podemos mostrar que são homotópicos. De fato, basta considerar a homotopia:

${\displaystyle H:\times \rightarrow X}$

${\displaystyle H(t,s)={\begin{cases}\alpha \left({\dfrac {4t-s}{s+1}}\right);\,\,\,\,0\leq t\leq {\dfrac {s+1}{4}},\\\beta (4t-s-1);\,\,\,\,{\dfrac {s+1}{2}}\leq t\leq {\dfrac {s+2}{4}},\\\gamma \left({\dfrac {4t-s-2}{2-s}}\right);\,\,\,\,{\dfrac {s+2}{4}}\leq t\leq 1\end{cases}}}$

Se considerarmos então como "equivalentes" dois caminhos homotópicos, teremos a associatividade da operação justaposição. A operação, agora entre classes de homotopia ${\displaystyle }$ e ${\displaystyle }$, denotaremos por ${\displaystyle \cdot }$. Assim, quando consideramos o conjunto ${\displaystyle \Omega (X,x_{0})}$ de todos os lacetes com ponto base em ${\displaystyle x_{0}}$, a relação de equivalência ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ como ${\displaystyle \alpha {\mathcal {R}}\beta }$ se, e só se ${\displaystyle \alpha }$ é homotópico a ${\displaystyle \beta }$ e tomamos o quociente:

${\displaystyle {\dfrac {\Omega (X,x_{0})}{\mathcal {R}}}}$

temos que este conjunto com a operação justaposição entre classes de homotopia é um grupo, o qual denotamos por:

${\displaystyle \Pi _{1}(X,x_{0})=\left({\dfrac {\Omega (X,x_{0})}{\mathcal {R}}},\cdot \right)}$

e denominamo-lo por grupo fundamental.

Referências

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