Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados iguais (equilátero) e todos os seus ângulos iguais (equiângulo), sejam eles internos ou externos. Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.
Para um polígono regular de n {\displaystyle n}
Soma dos Ângulos Internos (Si) lados, e medida de lado l {\displaystyle l} :A soma dos ângulos internos de um polígono regular pode ser calculada dividindo-se a figura com segmentos que ligam um vértice definido a cada um dos outros. O polígono será dividido em n − 2 {\displaystyle n-2} cada um com ângulo interno de 180° ou π radianos. Somando, encontra-se S i {\displaystyle S_{i}} A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono de n lados é igual a 180ºx(n-2)
S i = ( n − 2 ) .180 ∘ {\displaystyle S_{i}={(n-2).180^{\circ }}} triângulos,ou, em radianos,
S i = ( n − 2 ) π {\displaystyle S_{i}={(n-2)\pi }}Um ângulo interno é aquele formado entre dois lados consecutivos. Em um polígono regular, sendo todos os ângulos congruentes, pode ser obtido dividindo-se a soma dos ângulos internos pelo número de lados. A amplitude de um ângulo interno de um polígono regular de n {\displaystyle n}
lados é:A i = 180 − 360 n − 1 {\displaystyle A_{i}=180-360n^{-1}}
São os suplementos dos ângulos internos:
A e = 180 ∘ − A i = 360 ∘ n {\displaystyle A_{e}=180^{\circ }-A_{i}={360^{\circ } \over n}}ou, em radianos:
A e = 2 π n {\displaystyle A_{e}={2\pi \over n}}Note-se que a soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre 360º. A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer polígono convexo (em que só pode traçar ligas por dentro do polígono) é igual a 360º.
Distância do vértice do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência circunscrita ao polígono.
r = l 2. cos ( A i / 2 ) {\displaystyle r={l \over 2.\cos(A_{i}/2)}}
Distancia do ponto médio do segmento do polígono circunscrito até o centro da circunferência. (formando 90°)
Distância perpendicular de um dos lados do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência inscrita no polígono.
a = r 2 − l 2 / 4 {\displaystyle a={\sqrt {r^{2}-l^{2}/4}}}ou
a = r . sen ( A i / 2 ) {\displaystyle a={r.\operatorname {sen}(A_{i}/2)}\,\;}ou
a = r . cos ( π / n ) = r . cos ( 180 ∘ / n ) {\displaystyle a={r.\cos(\pi /n)}={r.\cos(180^{\circ }/n)}}ou
a = l . tan ( A i / 2 ) 2 {\displaystyle a={l.\tan(A_{i}/2) \over 2}}ou
a = l 2. tan ( π / n ) = l 2. tan ( 180 ∘ / n ) {\displaystyle a={l \over 2.\tan(\pi /n)}={l \over 2.\tan(180^{\circ }/n)}}Em um polígono com número par de lados, é a distância perpendicular entre 2 lados opostos. Já em um polígono com número ímpar de lados, é a distância perpendicular entre um lado e seu vértice oposto.
No triângulo equilátero inscrito numa circunferência, no entanto, pode-se afirmar que:
h = 3. a {\displaystyle h={3.a}\,\;}Distância entre 2 vértices não-consecutivos do polígono (ou seja, as fórmulas referentes a diagonais não se aplicam a triângulos).
Diagonal principal (dp)Distância entre 2 vértices opostos do polígono. Só existe caso o polígono tenha um número par de lados.
Maior distância entre 2 vértices do polígono. Em um polígono com número par de lados é a diagonal principal.
Menor distância entre 2 vértices do polígono.
O número de diagonais que se pode obter de um vértice é
N d = ( n − 3 ) {\displaystyle N_{d}=({n-3})}Soma da medida dos lados.
2 P = n . l {\displaystyle 2P={n.l}\,\;}Semiperímetro é a medida da metade do perímetro de uma figura geométrica
p = n . l 2 {\displaystyle p={n.l \over 2}}Superfície ocupada pelo polígono.
A = n . l 2 4. tan ( π / n ) = n . l 2 4. tan ( 180 ∘ / n ) {\displaystyle A={\frac {n.l^{2}}{4.\tan(\pi /n)}}={\frac {n.l^{2}}{4.\tan(180^{\circ }/n)}}}ou
A = n . l . a 2 {\displaystyle A={n.l.a \over 2}} A = p . a {\displaystyle A=p.a}Circunferência que tangencia todos os vértices do polígono, ficando externa a ele.
Comprimento (Lcirc) L c i r c = 2. π . r {\displaystyle L_{circ}={2.\pi .r}\,\;}ou
L c i r c = π . l sen ( π / n ) = π . l sen ( 180 ∘ / n ) {\displaystyle L_{circ}={\pi .l \over \operatorname {sen}(\pi /n)}={\pi .l \over \operatorname {sen}(180^{\circ }/n)}} Área (Acirc) A c i r c = π . r 2 {\displaystyle A_{circ}={\pi .r^{2}}\,\;}ou
A c i r c = π . l 2 4. sen 2 ( π / n ) = π . l 2 4. sen 2 ( 180 ∘ / n ) {\displaystyle A_{circ}={\pi .l^{2} \over 4.\operatorname {sen} ^{2}(\pi /n)}={\pi .l^{2} \over 4.\operatorname {sen} ^{2}(180^{\circ }/n)}}Circunferência que tangencia todas as arestas do polígono, ficando interna a ele.
Comprimento (Lins) L i n s = 2. π . a {\displaystyle L_{ins}={2.\pi .a}\,\;}ou
L i n s = π . l tan ( π / n ) = π . l tan ( 180 ∘ / n ) {\displaystyle L_{ins}={\pi .l \over \tan(\pi /n)}={\pi .l \over \tan(180^{\circ }/n)}} Área (Ains) A i n s = π . a 2 {\displaystyle A_{ins}={\pi .a^{2}}\,\;}ou
A i n s = π . l 2 4. tan 2 ( π / n ) = π . l 2 4. tan 2 ( 180 ∘ / n ) {\displaystyle A_{ins}={\pi .l^{2} \over 4.\tan ^{2}(\pi /n)}={\pi .l^{2} \over 4.\tan ^{2}(180^{\circ }/n)}}A diferença entre as áreas das circunferências circunscrita e inscrita pode ser expressa por:
Δ A ∘ = A c i r c − A i n s = π . l 2 4 {\displaystyle \Delta A_{\circ }=A_{circ}-A_{ins}={\pi .l^{2} \over 4}}Polígonos | |
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Convexos | Triângulo · Quadrilátero · Heptágono · Octógono · Eneágono · Heptadecágono · Octodecágono · Hendecoságono · Docoságono · Pentacoságono · Triacontágono · Tetracontágono · Quiliágono · 65537-gono |
Estrelas | Pentagrama · Hexagrama · Octograma |
Controle de autoridade |
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