Tensor tensão

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Em mecânica de meios contínuos, o tensor tensão é o tensor que trata da distribuição de tensões e esforços internos nos meios contínuos.

O teorema de Cauchy (sobre as tensões de um corpo) estabelece que dada uma distribuição de tensões internas sobre a geometria de um meio contínuo deformado, que satisfaz as condições do princípio de Cauchy, existe um campo tensorial T simétrico definido sobre a geometria deformada com as seguintes propriedades:

1. . ${\displaystyle t(\mathbf {x} ,n)=(n),}$
2. . ${\displaystyle \nabla \cdot T_{C}(\mathbf {x} )+f(\mathbf {x} )=0,}$
3. . ${\displaystyle T_{C}(\mathbf {x} )=T_{C}^{T}(\mathbf {x} )}$

A terceira propriedade significa que este tensor será dado sobre as coordenadas especificadas por uma matriz simétrica. Cabe assinalar que em um problema mecânico a priori é difícil conhecer o tensor tensão de Cauchy já que este está definido sobre a geometria do corpo uma vez deformado, e esta não é conhecida de antemão. Portanto previamente é necessário encontrar a forma deformada para conhecer exatamente o tensor de Cauchy. Entretanto, quando as deformações são pequenas, em engenharia e aplicações práticas se emprega este tensor ainda que definido sobre as coordenadas do corpo sem deformar (o qual não conduz a erros de cálculo excessivo se todas as deformações máximas são inferiores a 0,01).

Fixado um sistema de referência ortogonal, o tensor tensão de Cauchy é dado por uma matriz simétrica, cujas componentes são:

${\displaystyle _{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$

A segunda forma é a forma comum de chamar às componentes do tensor tensão em engenharia.

Os tensores de Piola-Kirchhoff T_R se introduzem para evitar a dificuldade de ter que trabalhar con um tensor definido sobre a geometria já deformada (que normalmente não é conhecida de antemão). A relação entre ambos tensores vem dada por:

${\displaystyle T_{R}(\mathbf {x} )=det(\nabla F)T_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T}}$

Onde F é o tensor gradiente de deformação. Este tensor entretanto, tem o problema de que não é simétrico (ver segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff).

Este tensor se introduz para lograr um tensor definido sobre a geometria previa à deformação e que além disso seja simétrico, a diferença do primeiro tensor de Piola-Kirchhoff que não tem porque ser simétrico. O segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff vem dado por:

${\displaystyle \Sigma _{R}(\mathbf {x} )=det(\nabla F)((\nabla F)^{-1})T_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T},}$

• Mecânica de meios contínuos
• Elasticidade (mecânica de sólidos)
• Teorema de Rivlin-Ericksen
• Tensor deformação

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