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Trissecção do ângulo é um dos problemas clássicos da geometria sobre construções com régua e compasso e consiste em, dado um ângulo qualquer, construir um outro com um terço de sua amplitude.
O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois dos seus vértices é de 120º, resulta daqui que o ângulo de 120º não pode ser trissectado somente com régua e compasso. No entanto Gauss nunca publicou uma demonstração do seu enunciado.
Considerando ∠AOB = 2a e ∠HOG = 2x, verifica-se que no triângulo ΔOCF temos que o ângulo ∠OCF = ½(a + x) pois é um ângulo inscrito na circunferência que compreende um arco de medida a + x, e também temos que ∠CFO = ½(a − x) pois ao prolongarmos a bissetriz obtemos um ângulo oposto ao ângulo ∠EOB = a pelo vértice, que por outro lado, ele é ângulo externo ao triângulo ΔOCF não adjacente aos ângulos ∠OCF = ½(a + x) e ∠CFO, então:
C F ^ O = a − a + x 2 = a − x 2 {\displaystyle C{\hat {F}}O=a-{\frac {a+x}{2}}={\frac {a-x}{2}}}
Utilizando a lei dos senos e cossenos no triângulo ΔOCF e considerando os lados OF e OC que medem respectivamente 2.r e r, onde r é o raio da circunferência construída temos:
2. r sen a + x 2 = r sen a − x 2 ⟺ sen a − x 2 sen a + x 2 = 1 2 ⋅ {\displaystyle {\frac {2.r}{\operatorname {sen} {\frac {a+x}{2}}}}={\frac {r}{\operatorname {sen} {\frac {a-x}{2}}}}\Longleftrightarrow {\frac {\operatorname {sen} {\frac {a-x}{2}}}{\operatorname {sen} {\frac {a+x}{2}}}}={\frac {1}{2}}\cdot }
Com a segunda igualdade chegamos a:
( sen a / 2 ) . ( cos x / 2 ) − ( sen x / 2 ) . ( cos a / 2 ) ( sen a / 2 ) . ( cos x / 2 ) + ( sen x / 2 ) . ( cos a / 2 ) = 1 2 {\displaystyle {\frac {(\operatorname {sen} \,a/2).(\cos x/2)-(\operatorname {sen} \,x/2).(\cos a/2)}{(\operatorname {sen} \,a/2).(\cos x/2)+(\operatorname {sen} \,x/2).(\cos a/2)}}={\frac {1}{2}}}
Dividindo o numerador e o denominador do primeiro membro da expressão anterior, temos: ( tan a / 2 ) − ( tan x / 2 ) ( tan a / 2 ) + ( tan x / 2 ) = 1 2 {\displaystyle {\frac {(\tan a/2)-(\tan x/2)}{(\tan a/2)+(\tan x/2)}}={\frac {1}{2}}} .
Com isso mostra-se que tan x 2 = 1 3 tan a 2 {\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {1}{3}}\tan {\frac {a}{2}}}
. Conclui-se então que x é aproximadamente a 3 {\displaystyle {\frac {a}{3}}} .