Sequências e progressões: Como identificar e calcular

Introdução

As sequências e progressões são tópicos fundamentais para compreender a matemática do ensino médio e superior, mas muitas vezes podem ser confusos. Neste artigo, vamos explicar o que são as sequências e as progressões, como identificar e calcular seus termos, bem como alguns exemplos de aplicações.

Sequências

Uma sequência é uma lista ordenada de números. Cada número na sequência é chamado de termo. Por exemplo, a sequência 1, 2, 3, 4, 5 é uma sequência de cinco termos. A notação geral para uma sequência é (a_n), onde n é o número do termo.

Tipos de sequências

Existem vários tipos de sequências, sendo as principais: aritmética, geométrica e harmônica.

Sequência aritmética: é aquela em que a diferença entre um termo e o seu sucessor é constante. Por exemplo, a sequência 2, 4, 6, 8, 10 é uma sequência aritmética com uma diferença comum de 2.
Sequência geométrica: é aquela em que a razão entre um termo e seu sucessor é constante. Por exemplo, a sequência 2, 4, 8, 16, 32 é uma sequência geométrica com uma razão comum de 2.
Sequência harmônica: é aquela em que o inverso de cada termo forma uma sequência aritmética. Por exemplo, a sequência 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 é uma sequência harmônica.

Fórmulas de sequências

Para encontrar um termo específico da sequência, é preciso usar as fórmulas correspondentes a cada tipo de sequência. Vamos conhecer essas fórmulas:

Sequência aritmética: o termo geral (a_n) é dado por a_n = a₁ + (n-1)d, onde a₁ é o primeiro termo, n é o número do termo e d é a diferença comum.
Sequência geométrica: o termo geral (a_n) é dado por a_n = a₁r^n-1, onde a₁ é o primeiro termo, n é o número do termo e r é a razão comum.
Sequência harmônica: o termo geral (a_n) é dado por a_n = 1/n, onde n é o número do termo.

Progressões

As progressões são sequências especiais em que cada termo é a soma (ou diferença) do termo anterior com um valor fixo. As progressões mais comuns são aquelas em que a soma (ou diferença) é sempre a mesma ao longo da sequência.

Tipos de progressões

Assim como as sequências, as progressões também têm diferentes tipos.

Progressão aritmética: é aquela em que a diferença entre um termo e seu antecessor é constante. Por exemplo, a sequência 1, 3, 5, 7, 9 é uma progressão aritmética com uma diferença comum de 2.
Progressão geométrica: é aquela em que a razão entre um termo e seu antecessor é constante. Por exemplo, a sequência 2, 6, 18, 54, 162 é uma progressão geométrica com uma razão comum de 3.

Fórmulas de progressões

Assim como as sequências, as progressões também têm fórmulas para encontrar seu termo geral.

Progressão aritmética: o termo geral é dado por a_n = a₁ + (n-1)d, onde a₁ é o primeiro termo, n é o número do termo e d é a diferença comum.
Progressão geométrica: o termo geral é dado por a_n = a₁r^n-1, onde a₁ é o primeiro termo, n é o número do termo e r é a razão comum.

Exemplos de aplicação

As sequências e progressões são amplamente utilizadas na matemática e em outras áreas, como a física e a economia. Vejamos alguns exemplos:

Na física, as sequências são usadas para descrever o movimento uniforme (aritmética) e o movimento acelerado (geométrica).
Na economia, as progressões são utilizadas para calcular juros compostos.
Na biologia, as sequências são usadas para descrever o código genético nas células.

Exemplo de cálculo

Vamos ao exemplo de cálculo de um termo específico numa sequência aritmética:

Dada a sequência (a_n) = 1, 4, 7, 10, ..., determine o valor do décimo termo.

Para obter o valor do décimo termo, podemos usar a fórmula da sequência aritmética:

a_n = a₁ + (n-1)d

O primeiro termo a₁ = 1. Podemos encontrar a diferença comum d subtraindo o segundo termo do primeiro. Assim:

d = 4 - 1 = 3

Substituindo os valores na fórmula para o décimo termo (n = 10), temos:

a₁₀ = 1 + (10-1) x 3 = 28

Portanto, o décimo termo da sequência (a_n) = 1, 4, 7, 10, ... é 28.

Conclusão

As sequências e progressões são tópicos fundamentais da matemática e têm inúmeras aplicações na vida real. Com o conhecimento das fórmulas, é possível calcular qualquer termo em uma sequência ou progressão. Esperamos ter ajudado a esclarecer esse tema tão importante.