Corpo (matemática)

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Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW • CAPES • Google (N • L • A) (Novembro de 2013)

Em matemática, um corpo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.

Definição formal

Mais formalmente, um anel comutativo F {\displaystyle F} $F$ com unidade é chamado de corpo se:

( ∀ x ∈ F ∖ { 0 } ) ( ∃ y ∈ F ) : x . y = 1. {\displaystyle (\forall x\in F\setminus \{0\})(\exists y\in F):x.y=1.}

(\forall x\in F\setminus \{0\})(\exists y\in F):x.y=1.

Resulta da comutatividade de F {\displaystyle F} $F$ que o y {\displaystyle y} $y$ da definição anterior também satisfaz a condição y . x = 1. {\displaystyle y.x=1.} $y.x=1.$ Por outro lado, só pode haver um único y {\displaystyle y} $y$ naquelas condições. De facto, se y {\displaystyle y} $y$ e y ′ {\displaystyle y'} $y'$ forem tais que x . y = x . y ′ = 1 , {\displaystyle x.y=x.y'=1,} $x.y=x.y'=1,$ então

y = y .1 = y . ( x . y ′ ) = ( y . x ) . y ′ = 1. y ′ = y ′ . {\displaystyle y=y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y'.}

y=y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y'.

Este elemento y {\displaystyle y} $y$ designa-se por inverso de x {\displaystyle x} $x$ e representa-se por x − 1 . {\displaystyle x^{-1}.} $x^{-1}.$

Um corpo F {\displaystyle F} $F$ não tem divisores de zero. Efectivamente, se x {\displaystyle x} $x$ e y {\displaystyle y} $y$ forem dois elementos de F {\displaystyle F} $F$ diferentes de 0 {\displaystyle 0} $0$ então x . y {\displaystyle x.y} $x.y$ ≠ 0 , {\displaystyle 0,} $0,$ pois

x − 1 . ( x . y ) = ( x − 1 . x ) . y = 1. y = y {\displaystyle x^{-1}.(x.y)=(x^{-1}.x).y=1.y=y}

x^{-1}.(x.y)=(x^{-1}.x).y=1.y=y

≠ 0.

Mas se se tivesse x . y = 0 , {\displaystyle x.y=0,} $x.y=0,$ então ter-se-ia x − 1 . ( x . y ) = 0. {\displaystyle x^{-1}.(x.y)=0.} $x^{-1}.(x.y)=0.$

Exemplos e contra-exemplos de Corpos

Exemplos

Os números complexos C {\displaystyle \mathbb {C} } e seus subcorpos, entre os quais:
- o corpo dos números racionais Q ; {\displaystyle \mathbb {Q} ;} $\mathbb {Q} ;$
- o corpo dos números algébricos;
- o corpo dos números reais R . {\displaystyle \mathbb {R} .} $\mathbb {R} .$
Z 2 , {\displaystyle \mathbb {Z} _{2},} $\mathbb {Z} _{2},$ o menor corpo, formado pelos números 1 {\displaystyle 1} $1$ e 0 , {\displaystyle 0,} $0,$ em que 1 + 1 = 0. {\displaystyle 1+1=0.} $1+1=0.$ Este conjunto com as operações de adição e multiplicação satisfaz todos os axiomas de anel, é comutativo e tem unidade. Além disso, como em qualquer anel com unidade, 1 {\displaystyle 1} $1$ é o elemento inverso de 1. {\displaystyle 1.} $1.$
Z p , {\displaystyle \mathbb {Z} _{p},} $\mathbb {Z} _{p},$ onde p é um número primo. Como conjunto,

Z p = { 0 , 1 , 2 , … , p − 1 } {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}

\mathbb {Z} _{p}=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}

A adição e a multiplicação são assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em Z p , {\displaystyle \mathbb {Z} _{p},} $\mathbb {Z} _{p},$ então a + b {\displaystyle a+b} $a+b$ (respectivamente a . b {\displaystyle a.b} $a.b$ ) é o resto da divisão por p {\displaystyle p} $p$ da adição (respectivamente multiplicação) dos números inteiros a {\displaystyle a} $a$ e b . {\displaystyle b.} $b.$

os números hiperreais, uma extensão de R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ que inclui infinitesimais.
os números surreais

< H : a + b 2 , + , ⋅ {\displaystyle {a+b{\sqrt {2}}},+,\cdot } ${a+b{\sqrt {2}}},+,\cdot$ >

Contra-exemplos

Z n , {\displaystyle \mathbb {Z} _{n},} $\mathbb {Z} _{n},$ quando n {\displaystyle n} $n$ não é um número primo, não é um corpo, pois tem divisores de zero.
Os quaterniões não formam um corpo, porque a multiplicação não é comutativa.

Característica

Dado um corpo F , {\displaystyle F,} $F,$ considere-se a sucessão 1 , {\displaystyle 1,} $1,$ 1 + 1 , {\displaystyle 1+1,} $1+1,$ 1 + 1 + 1 , {\displaystyle 1+1+1,} $1+1+1,$ … Há duas possibilidades.

Todos os termos da sucessão são diferentes de 0. {\displaystyle 0.} $0.$ Diz-se então que o corpo F {\displaystyle F} $F$ tem característica 0. {\displaystyle 0.} $0.$
Alguns termos da sucessão são iguais a 0. {\displaystyle 0.} $0.$ Diz-se então que o corpo F {\displaystyle F} $F$ tem característica p , {\displaystyle p,} $p,$ onde p {\displaystyle p} $p$ é o menor número natural tal que 1 + 1 + {\displaystyle 1+1+} $1+1+$ ··· + 1 {\displaystyle +1} $+1$ ( p {\displaystyle p} $p$ vezes) = 0.

O corpo dos números complexos e os seus subcorpos têm característica 0 ; {\displaystyle 0;} $0;$ para cada número primo p , {\displaystyle p,} $p,$ o corpo Zp tem característica p . {\displaystyle p.} $p.$

Se um corpo tem característica p > 0 , {\displaystyle p>0,} $p>0,$ então p {\displaystyle p} $p$ é um número primo. De facto, a função

f : N ⟶ F n ↦ 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏞ n vezes {\displaystyle {\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {N} &\longrightarrow &F\\&n&\mapsto &{\stackrel {n{\text{vezes}}}{\overbrace {1+1+\cdots +1} }}\end{array}}}

{\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {N} &\longrightarrow &F\\&n&\mapsto &{\stackrel {n{\text{vezes}}}{\overbrace {1+1+\cdots +1} }}\end{array}}

é tal que se m {\displaystyle m} $m$ e n {\displaystyle n} $n$ são números naturais, então f ( m . n ) = f ( m ) . f ( n ) . {\displaystyle f(m.n)=f(m).f(n).} $f(m.n)=f(m).f(n).$ Por outro lado, se F {\displaystyle F} $F$ tiver característica p , {\displaystyle p,} $p,$ então f ( p ) = 0. {\displaystyle f(p)=0.} $f(p)=0.$ Se p {\displaystyle p} $p$ não fosse primo, tinha-se p = m . n , {\displaystyle p=m.n,} $p=m.n,$ com m {\displaystyle m} $m$ e n {\displaystyle n} $n$ números naturais menores do que p , {\displaystyle p,} $p,$ pelo que 0 = f ( p ) = f ( m . n ) = f ( m ) . f ( n ) . {\displaystyle 0=f(p)=f(m.n)=f(m).f(n).} $0=f(p)=f(m.n)=f(m).f(n).$ Mas então f ( m ) = 0 {\displaystyle f(m)=0} $f(m)=0$ ou f ( n ) = 0. {\displaystyle f(n)=0.} $f(n)=0.$ Isto é impossível pois, por definição, p {\displaystyle p} $p$ é o menor número natural tal que f ( p ) = 0. {\displaystyle f(p)=0.} $f(p)=0.$

Se um corpo F tem característica p (em que p é zero ou um número primo), então existe um subcorpo K ⊆ F {\displaystyle K\subseteq F} $K\subseteq F$ e um isomorfismo de corpos ϕ : Q → K {\displaystyle \phi :\mathbb {Q} \to K} $\phi :\mathbb {Q} \to K$ (p = 0) ou ϕ : Z p → K {\displaystyle \phi :\mathbb {Z} _{p}\to K} $\phi :\mathbb {Z} _{p}\to K$ (p primo). Além disso, o subcorpo K e o isomorfismo φ são únicos.

Corpos de fracções

Seja S {\displaystyle S} $S$ um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Então é possível mergulhar S {\displaystyle S} $S$ num corpo F . {\displaystyle F.} $F.$ Basta definir em S {\displaystyle S} $S$ × ( S {\displaystyle (S} $(S$ \ { 0 } ) {\displaystyle \{0\})} $\{0\})$ a seguinte relação de equivalência ∼:

( a , r ) {\displaystyle (a,r)}

(a,r)

∼ ( b , s ) {\displaystyle (b,s)}

(b,s)

se e só se a . s = b . r . {\displaystyle a.s=b.r.}

a.s=b.r.

Se ( a , r ) {\displaystyle (a,r)} $(a,r)$ for um elemento de S {\displaystyle S} $S$ × ( S {\displaystyle (S} $(S$ \ { 0 } ) , {\displaystyle \{0\}),} $\{0\}),$ seja {\displaystyle } $\text{[math]}$ a sua classe de equivalência. Seja F {\displaystyle F} $F$ o conjunto das classes de equivalência. Podem-se então definir os seguintes elementos de F {\displaystyle F} $F$ e as seguintes operações:

0 = ; {\displaystyle 0=;} $0=;$
1 = ; {\displaystyle 1=;} $1=;$
+ = ; {\displaystyle +=;} $+=;$
. = . {\displaystyle .=.} $.=.$

Então F {\displaystyle F} $F$ é um corpo e a função

S ⟶ F a ↦ {\displaystyle {\begin{array}{ccc}S&\longrightarrow &F\\a&\mapsto &\end{array}}}

{\begin{array}{ccc}S&\longrightarrow &F\\a&\mapsto &\end{array}}

é uma função injectiva de S {\displaystyle S} $S$ em F . {\displaystyle F.} $F.$ O corpo F {\displaystyle F} $F$ designa-se por corpo de fracções do anel S . {\displaystyle S.} $S.$

Exemplos:

O corpo dos números racionais é o corpo de frações do anel dos números inteiros.
Seja A {\displaystyle A} $A$ um aberto conexo não vazio de C. As funções holomorfas de A {\displaystyle A} $A$ em C formam um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. O seu corpo de fracções é o corpo das funções meromorfas de A {\displaystyle A} $A$ em C.

Ver também

Teoria dos corpos
Corpo topológico, em que a estrutura de espaço topológico deve ser tal que garanta a continuidade de várias operações do corpo
Corpo ordenado, em que existe uma relação de ordem total compatível com as operações de corpo

Notas e referências

↑ a b c Jacobson, 1985, p. 87–91
↑ Os números surreais, na sua formulação original, não formam um conjunto. Consequente, não são um corpo. No entanto, esta limitação pode ser ultrapassada, limitando a construção dos números surreais a um Universo de Grothendieck.
↑ Jacobson, 1985, p. 116–117

Bibliografia

Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra (em inglês). 1. New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0716714809

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