Comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final.
Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não. E mesmo na aritmética existem exemplos de operações que não são comutativas, como a subtração e a divisão.
Dado um conjunto qualquer S e um operação binária f, dizemos que f é comutativa se:
f ( x , y ) = f ( y , x ) ∀ x , y ∈ S {\displaystyle f(x,y)=f(y,x)\ \forall \ x,y\in S}A notação matemática mais comum para operações binárias é através de um símbolo gráfico entre os dois operandos, por exemplo, escreve-se:
f ( x , y ) = x ♢ y {\displaystyle f(x,y)=x\ \diamondsuit \ y\,}Usando esta notação, a definição de comutatividade fica:
x ♢ y = y ♢ x ∀ x , y ∈ S {\displaystyle x\ \diamondsuit \ y=y\ \diamondsuit \ x\ \forall \ x,y\in S\,}Os exemplos mais comuns são:
Na multiplicação, a propriedade comutativa troca os números, mas independentemente da troca, o resultado fica igual.