Em matemática, um número racional é todo número que pode ser representado por uma fração a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} de dois números inteiros, um numerador a {\displaystyle a} e um denominador não nulo b {\displaystyle b} . Como b {\displaystyle b} pode ser igual a 1, todo número inteiro também é um número racional. O termo racional surge do fato de a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} representar a razão ou proporção entre os inteiros a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} .
O conjunto dos números racionais é representado por Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (ou alternativamente por Q), sendo o uso da letra "Q" derivado da palavra latina quotiē(n)s, cujo significado é "quantas vezes". Tal conjunto é definido por:
Q = { a b | a ∈ Z e b ∈ Z ∗ } . {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\dfrac {a}{b}}|\,a\in \mathbb {Z} \quad {\mbox{e}}\quad b\in \mathbb {Z^{*}} \right\}.} A expansão decimal de um número racional sempre termina após um número finito de dígitos ou começa a repetir a mesma sequência finita de dígitos repetidamente. Além disso, qualquer dízima periódica ou número decimal com quantidade finita de casas decimais representa um número racional. Essas instruções são verdadeiras não apenas para a base 10, mas também para qualquer outra base inteira (por exemplo, binária, hexadecimal). Números racionais podem ser formalmente definidos como classes de equivalência do par de inteiros ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} em que b ≠ 0 {\displaystyle b\not =0} , para a relação de equivalência definida por ( a 1 , b 1 ) ∼ ( a 2 , b 2 ) {\displaystyle (a_{1},b_{1})\thicksim (a_{2},b_{2})} se, e somente se, a 1 b 2 = a 2 b 1 {\displaystyle a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}} .Os números racionais junto com a adição e a multiplicação formam um corpo que contém os inteiros e é contido por qualquer corpo que contém os inteiros. Extensões finitas de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } são chamadas de corpos de números algébricos, e o fechamento algébrico de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } é o corpo dos números algébricos.
Em análise matemática, os números racionais formam um subconjunto denso dos números reais. Os números reais podem ser construídos a partir dos números racionais por complementação, usando as sequências de Cauchy, cortes de Dedekind ou decimais infinitos.
Um número real que não é racional é chamado número irracional. Exemplos de números irracionais são a raiz quadrada de 2 ( 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ), a constante Pi ( π {\displaystyle \pi } ), a constante de Euler ( e {\displaystyle e} ) e a proporção áurea ( φ {\displaystyle \varphi } ). A expansão decimal de um irracional é sempre infinita e não periódica. Como o conjunto dos números racionais é enumerável e o conjunto dos números reais é não enumerável, quase todos os números reais são irracionais.
É provável que o conceito de números fracionários remonte aos tempos pré-históricos. Os antigos egípcios usavam sua notação de fração egípcia para números racionais em textos matemáticos, como o Papiro Matemático Rhind e o Papiro Kahun. Os matemáticos gregos e indianos clássicos fizeram estudos da teoria dos números racionais, como parte do estudo geral da teoria dos números. Os mais conhecidos deles são os Elementos de Euclides, que datam de aproximadamente 300 a.C.. Dos textos indianos, o mais relevante é o Sutra Sthananga, que também cobre a teoria dos números como parte de um estudo geral da matemática.
O conceito de frações decimais está intimamente ligado à notação posicional do valor decimal; os dois parecem ter se desenvolvido em paralelo. Por exemplo, é comum na matemática sutra jainista incluir cálculos de aproximações de frações decimais para pi ou a raiz quadrada de 2. Da mesma forma, os textos matemáticos babilônicos usaram frações sexagesimais (base 60) com grande frequência.
Números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de fração p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q} , em que q {\displaystyle q} é não nulo.
com p , q ∈ Z , q ≠ 0 {\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0} , incluindo as frações equivalentes a p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} . O conjunto dos números racionais, geralmente denotado por Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , é aquele que inclui todos os números racionais.Na fração p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} , p {\displaystyle p} é o numerador e q {\displaystyle q} o denominador. Se p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q} são primos entre si, ou seja, se mdc ( p , q ) = 1 {\displaystyle {\textrm {mdc}}(p,q)=1} , diz-se que essa fração é irredutível.
Há diferentes formas de apresentar os números racionais: frações (próprias ou impróprias), números mistos (variação das frações impróprias, também chamados de frações mistas), números decimais de escrita finita e as dízimas periódicas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos que se repetem infinitamente.
Todo número racional p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}}
possui uma expansão decimal infinita e periódica. No entanto, considerando q ≠ 1 {\displaystyle q\neq 1} , o número racional p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} pode ser representado por um número decimal de escrita finita se, e somente se, os únicos primos que aparecem na decomposição em primos de q {\displaystyle q} são 2 {\displaystyle 2} e 5 {\displaystyle 5} . Consequentemente, somente os racionais que podem ser representados por uma fração decimal (fração cujo denominador é uma potência de 10 {\displaystyle 10} ) admitem expansão decimal finita.Duas frações distintas podem representar a mesma parte de um inteiro, a mesma quantidade. Neste caso, tais frações estão representado o mesmo número racional e as frações são ditas equivalentes.
Quando os denominadores são iguais é fácil identificar se as quantidades representadas por duas frações são iguais, pois a quantidade da fração 2 5 {\displaystyle {\frac {2}{5}}}
não será a mesma de 4 5 {\displaystyle {\frac {4}{5}}} e 9 5 {\displaystyle {\frac {9}{5}}} , pois 2 ≠ 4 ≠ 9 {\displaystyle 2\neq 4\neq 9} . Agora, quando os denominadores não são iguais, sendo a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} números inteiros com b , d ≠ 0 {\displaystyle b,d\neq 0} , diz-se que as frações a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} e c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} são frações equivalentes se, e somente se, a d = b c {\displaystyle ad=bc} , ou seja, a b = c d ⇔ a d = b c {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Leftrightarrow ad=bc} .São exemplos de frações equivalentes:
As frações equivalentes possuem as seguintes propriedades:
De acordo com as propriedades acima, nota-se que os números racionais podem ser formalmente definidos como classes de equivalência do par de inteiros ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} em que b ≠ 0 {\displaystyle b\not =0} , para a relação de equivalência definida por ( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\thicksim (c,d)} se, e somente se, a d = b c {\displaystyle ad=bc} . Em outras palavras, temos o seguinte resultado, que pode ser chamado de teorema da igualdade e equivalência: um número racional qualquer, dado por uma fração a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} , é igual a um outro número racional, com a forma de fração c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} , se, e somente se, essas duas frações forem equivalentes.
De acordo com o teorema acima, um número racional pode ser representado por infinitas frações distintas equivalentes. Um conjunto destas frações equivalentes é chamado de classe de equivalência da fração. Para simplificação, a classe de equivalência associada a um número racional pode ser representado pela fração irredutível que o representa.
O termo classe pode ter o mesmo significado de conjunto, mas este nome é utilizado quando se trabalha com objetos matemáticos equivalentes entre si, de alguma maneira.
Para exemplificar, no caso do número racional de representação decimal finita r = 0 , 4 {\displaystyle r=0,4}
, tem-se a seguinte classe de equivalência: { 2 5 , 4 10 , 6 15 , ⋯ } {\displaystyle \left\{{\frac {2}{5}},{\frac {4}{10}},{\frac {6}{15}},\cdots \right\}} . O número zero é o único número racional que possui representações de numerador e denominador com sinais iguais e diferentes, podendo-se escrever a seguinte classe: { 0 1 , 0 2 , ⋯ , 0 − 1 , 0 − 2 , ⋯ } . {\displaystyle \left\{{\frac {0}{1}},{\frac {0}{2}},\cdots ,{\frac {0}{-1}},{\frac {0}{-2}},\cdots \right\}.}Para o conjunto dos racionais, pode-se citar alguns subconjuntos com notação específica:
Outros subconjuntos de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } números naturais ( N {\displaystyle \mathbb {N} } ) e o conjunto dos números inteiros ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ).
bastante conhecidos são o conjunto dosConsiderando a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
, c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} , e f ∈ Q {\displaystyle {\frac {e}{f}}\in \mathbb {Q} } , com a , b , c , d , e , f ∈ Z {\displaystyle a,b,c,d,e,f\in \mathbb {Z} } e b , d , f ≠ 0 {\displaystyle b,d,f\neq 0} , nas seções abaixo são listadas propriedades dos números racionais:Com isso, pode-se definir em Q ∗ {\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}
a divisão de dois números racionais: a b : c d = a b ⋅ d c , {\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}},} para c d ≠ 0. {\displaystyle {\frac {c}{d}}\neq 0.}Todo número racional é representado por uma, e só uma, fração irredutível de denominador positivo.
Ordenação dos racionaisO corpo {\displaystyle } possui a estrutura de corpo ordenado, sendo verificadas as seguintes propriedades de ordem: transitividade, tricotomia, monotonicidade da adição e monotonicidade da multiplicação.
Propriedade arquimediana em Q {\displaystyle \mathbb {Q} }O conjunto dos racionais possui a propriedade arquimediana, ou seja, dados os números r , s ∈ Q , s > 0 , {\displaystyle r,s\in \mathbb {Q} ,s>0,}
Densidade dos racionais pode-se encontrar n ∈ N , {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} tal que r < n ⋅ s {\displaystyle r<n\cdot s} .Se existirem, entre dois números reais distintos, infinitos elementos de um subconjunto C de R {\displaystyle \mathbb {R} } Assim, segue que Q {\displaystyle \mathbb {Q} } é denso em R {\displaystyle \mathbb {R} } , ou seja, entre dois números reais distintos (racionais ou irracionais) existem infinitos números racionais.
, diz-se que o conjunto C é denso em R {\displaystyle \mathbb {R} } .Observa-se que a média aritmética de quaisquer dois números racionais sempre é um número racional que fica entre eles.
EnumerabilidadeO conjunto de todos os números racionais é contável (enumerável), enquanto o conjunto de todos os números reais (assim como o conjunto de números irracionais) é não enumerável. Sendo enumerável, o conjunto dos racionais é um conjunto de medida zero, ou seja, quase todos os números reais são irracionais, no sentido da medida de Lebesgue.
Podemos passar um número racional na forma de fração a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} forma decimal dividindo o inteiro a {\displaystyle a} pelo inteiro b {\displaystyle b} , através do algoritmo de Euclides. Neste caso, são duas as possibilidades para a representação decimal encontrada:
para aEm uma dízima periódica, quando o bloco de repetição se inicia logo após a vírgula, diz-se que a dízima periódica é simples, caso contrário, a dízima periódica é dita composta. Como exemplos, podemos citar o número decimal exato 27 1000 = 0 , 027 {\displaystyle {\frac {27}{1000}}=0,027}
, a dízima periódica simples 2 7 = 0 , 285714285714 ⋯ = 0 , 285714 ¯ {\displaystyle {\frac {2}{7}}=0,285714285714\cdots =0,{\overline {285714}}} e a dízima periódica composta 11 6 = 1 , 8333 ⋯ = 1 , 8 3 ¯ {\displaystyle {\frac {11}{6}}=1,8333\cdots =1,8{\bar {3}}} .Todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} fração geratriz e a mesma pode ser encontrada a partir de um equacionamento, como no exemplo ilustrado abaixo para a representação decimal 6 , 4343 ⋯ = 6 , 43 ¯ {\displaystyle 6,4343\cdots =6,{\overline {43}}}
. Quando a decimal é exata, pode-se escrevê-la em forma de fração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 {\displaystyle 1} seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Como exemplos, pode-se citar 0 , 37 = 37 100 {\displaystyle 0,37={\frac {37}{100}}} e 2 , 631 = 2631 1000 {\displaystyle 2,631={\frac {2631}{1000}}} . Já quando a decimal é uma dízima periódica, a fração que dá origem a mesma é chamada dex = 6 , 434343 ⋯ 100 x = 643 , 434343 ⋯ } ⇒ 100 x − x = 643 − 6 ⇒ 99 x = 637 ⇒ x = 637 99 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=6,434343\cdots \\100x&=643,434343\cdots \\\end{aligned}}{\bigg \}}\Rightarrow 100x-x=643-6\Rightarrow 99x=637\Rightarrow x={\frac {637}{99}}}
.Todo número racional p {\displaystyle p}
pode ser escrito de acordo com a seguinte expansão:p = a n × 10 n + . . . + a 1 × 10 + a 0 + b 1 10 + b 2 10 2 + b 3 10 3 . . . {\displaystyle p=a_{n}\times 10^{n}+...+a_{1}\times 10+a_{0}+{\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+{\frac {b_{3}}{10^{3}}}...}
,ou de forma mais simplificada, como a representação decimal:
p = a n . . . a 1 a 0 , b 1 b 2 b 3 . . . {\displaystyle p=a_{n}...a_{1}a_{0},b_{1}b_{2}b_{3}...}
,onde a n , . . . , a 1 , a 0 , b 1 , b 2 , b 3 , . . . {\displaystyle a_{n},...,a_{1},a_{0},b_{1},b_{2},b_{3},...} algarismos de 0 a 9. Nota-se que as casas depois da vírgula (ou parte fracionária positiva) pode ser escrita como uma soma de frações decimais, as quais tem como numerador o número de sua respectiva casa decimal. Esse método pode ser utilizado tanto em uma fração ordinária que é equivalente a uma fração decimal quanto nas que não são equivalentes a uma fração decimal.
sãoUma fração contínua finita é uma expressão da forma
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 ⋱ + 1 a n , {\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}onde a i {\displaystyle a_{i}}
são inteiros. Todo número racional pode ser representado como uma fração contínua finita, cujos coeficientes a i {\displaystyle a_{i}} podem ser determinados pela aplicação do algoritmo euclidiano entre o numerador e o denominador da fração que representa o racional. Reciprocamente, nota-se que se a representação por frações contínuas de um número for finita, então este número é racional.Números | |
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