Dízima periódica

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Dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição, chamados de período.

Exemplos de dízimas

1 2 = 0 , 5 = 50 % {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}=0,5=50\%} ${\dfrac {1}{2}}=0,5=50\%$ - dízima finita (ou decimal exato).

0 , 3333333333... {\displaystyle 0,3333333333...} $0,3333333333...$ - dízima infinita (ou decimal não exato).

2 , 3256565656... {\displaystyle 2,3256565656...} $2,3256565656...$ - dízima infinita (ou decimal não exato).

Período e comprimento de uma dízima periódica infinita

O conjunto de números que se repete na parte decimal (após a vírgula) em algum momento é chamado de período. O período de uma dízima pode ser denotado por uma barra acima: 0 , 4629629... = 0 , 4 629 ¯ {\displaystyle 0,4629629...=0,4{\overline {629}}} $0,4629629...=0,4{\overline {629}}$ .

Neste caso, o período é 629, sendo esse número composto por 3 algarismos (comprimento do período).

Dízima periódica simples

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula (a parte decimal do número), pois não há anteperíodo, podendo ou não ter uma parte inteira não nula.

Exemplos:

0,444444… - "4" é o período.
0,5125125125… - "512" é o período.
0,68686868… - "68" é o período.
0,354235423542.. - "3542" é o período.
5,73737373... - "73" é o período.

Dízima periódica composta

Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período. Esse conjunto de algarismos que aparecem na parte decimal sem participar do período é chamado de anteperíodo.

Exemplos:

0,7888… - "7" é o anteperíodo.
0,58444444… - "58" é o anteperíodo.
0,15262626… - "15" é o anteperíodo.
2,34222222... - "34" é o anteperíodo.

Exemplos e notação

A repetição de algarismos geralmente é indicada pelo sinal de reticências ou por uma barra (traço) acima do período.

1 3 4 = 0 , 012345679012345679 … {\displaystyle {\frac {1}{3^{4}}}=0,012345679012345679\ldots } ${\frac {1}{3^{4}}}=0,012345679012345679\ldots$
1 3 = 0 , 333333333333 … {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,333333333333\ldots } ${\frac {1}{3}}=0,333333333333\ldots$
1 7 = 0 , 142857142857 … {\displaystyle {\frac {1}{7}}=0,142857142857\ldots } ${\frac {1}{7}}=0,142857142857\ldots$
1 9 = 0 , 111111111111 … {\displaystyle {\frac {1}{9}}=0,111111111111\ldots } ${\frac {1}{9}}=0,111111111111\ldots$

1 3 4 = 0 , 012345679 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{3^{4}}}=0,{\overline {012345679}}} ${\frac {1}{3^{4}}}=0,{\overline {012345679}}$
1 7 = 0 , 142857 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}} ${\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}$
1 9 = 0 , 1 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{9}}=0,{\overline {1}}} ${\frac {1}{9}}=0,{\overline {1}}$
1 3 = 0 , 3 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,{\overline {3}}} ${\frac {1}{3}}=0,{\overline {3}}$

Fração geratriz de uma dízima periódica

Toda dízima periódica representa um número racional, isto é justificado de forma construtiva ao encontrar a fração que dá origem à dízima.

Exemplo

1. Seja a dízima x = 1 , 253535353 … {\displaystyle x=1,253535353\ldots \,} $x=1,253535353\ldots \,$ . Observamos a repetição dos algarismos 5 e 3 (período), tomamos então o número 10 x {\displaystyle 10x} $10x$ para "mover" o anteperíodo (2) para a parte inteira da dízima:

10 x = 12 , 5353535353 … {\displaystyle 10x=12,5353535353\ldots \,}

10x=12,5353535353\ldots \,

2. Multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):

1000 x = 1253 , 535353.... {\displaystyle 1000x=1253,535353....} $1000x=1253,535353....$

3. Se subtrairmos 10 x {\displaystyle 10x\,} $10x\,$ de 1000 x {\displaystyle 1000x\,} $1000x\,$ temos:

1000 x = 1253 , 5353535353 … 10 x = 12 , 53535353 … 990 x = 1241 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}1000x&=&1253,5353535353\ldots \\10x&=&12,53535353\ldots \\990x&=&1241\end{array}}}

{\begin{array}{rcl}1000x&=&1253,5353535353\ldots \\10x&=&12,53535353\ldots \\990x&=&1241\end{array}}

Portanto, x = 1 , 2535353... = 1241 990 {\displaystyle x=1,2535353...={\frac {1241}{990}}} $x=1,2535353...={\frac {1241}{990}}$

Este raciocínio dedutivo pode ser aplicado a qualquer dízima periódica para encontrar sua fração geratriz.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

Algoritmo Usual

A geratriz de uma dízima periódica simples pode ser encontrada a partir de procedimentos simples seguindo o algoritmo:

Encontre a parte inteira e o período.
Escreva uma fração em que o numerador seja um número formado pelos algarismos da parte inteira e do período subtraído da parte inteira e que o denominador tenha o algarismo 9 para cada dígito que compõe o período.

Exemplo:

1 , 3232... = 1 , 32 ¯ {\displaystyle 1,3232...=1,{\overline {32}}} $1,3232...=1,{\overline {32}}$

A parte inteira é 1 e o período é 32, logo, a fração geratriz dessa dízima terá um numerador 132 - 1 e um denominador 99 (o período tem 2 algarismos, portanto, serão dois "noves").

1 , 3232... = 1 , 32 ¯ = 132 − 1 99 = 131 99 {\displaystyle 1,3232...=1,{\overline {32}}={\frac {132-1}{99}}={\frac {131}{99}}} $1,3232...=1,{\overline {32}}={\frac {132-1}{99}}={\frac {131}{99}}$

Da mesma forma, geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, anteperíodo e período subtraído do anteperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anteperíodo.

Por exemplo:

0 , 14275275275... = 0 , 14 275 ¯ {\displaystyle 0,14275275275...=0,14{\overline {275}}} $0,14275275275...=0,14{\overline {275}}$

Anteperíodo: 14, sendo formado por 2 algarismos, logo, o denominador terá dois "zeros".

Período: 275, sendo formado por 3 algarismos, logo, o numerador terá três "noves".

O numerador será um número formado pelos algarismos da parte inteira (0), anteperíodo (14) e período (275), ou seja, 14275, subtraído do anteperíodo (14). O denominador será 99900, pois o período é composto por 3 algarismos (999) e o anteperíodo é composto por 2 algarismos (00). Dessa forma, 14275 − 14 99900 = 14261 99900 {\displaystyle {\frac {14275-14}{99900}}={\frac {14261}{99900}}} ${\frac {14275-14}{99900}}={\frac {14261}{99900}}$ . Portanto, a geratriz da dízima 0,14275275... é 14261 99900 {\displaystyle {\frac {14261}{99900}}} ${\frac {14261}{99900}}$ .

Dízimas periódicas e séries geométricas infinitas

Toda dízima periódica pode ser decomposta em infinitas somas, dado que o período se repete infinitamente , por exemplo:

A dízima 0 , 313131... {\displaystyle 0,313131...} $0,313131...$ (que pode ser reescrita na forma 0 , 31 ¯ {\displaystyle 0,{\overline {31}}} $0,{\overline {31}}$ ) pode ser decomposta na soma infinita 0 , 31 + 0 , 0031 + 0 , 000031 + . . . {\displaystyle 0,31+0,0031+0,000031\;+\;...} $0,31+0,0031+0,000031\;+\;...$

Essa soma pode ser interpretada como uma série geométrica infinita, cujo primeiro termo é 0,31 e a razão é igual ao inverso de 10 elevado ao número de algarismos do período, que no caso é 2, ou seja, 10 − 2 {\displaystyle 10^{-2}} $10^{-2}$ ou 1 100 {\displaystyle {\frac {1}{100}}} ${\frac {1}{100}}$ .

Assim, podemos representar essa dízima como uma série infinita:

∑ k = 0 ∞ ( 0 , 31 ⋅ 10 − 2 k ) = ∑ k = 0 ∞ ( 0 , 31 ⋅ 1 100 k ) = ∑ k = 0 ∞ ( 31 10 2 ( k + 1 ) ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot 10^{-2k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot {\frac {1}{100^{k}}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {31}{10^{2(k+1)}}}\right)}

\sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot 10^{-2k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot {\frac {1}{100^{k}}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {31}{10^{2(k+1)}}}\right)

Considerando ∣ q ∣ {\displaystyle \mid \ q\ \mid }

\mid \ q\ \mid

o valor absoluto da razão e que ∣ q ∣< 1 {\displaystyle \mid \ q\mid <1}

\mid \ q\mid <1

, temos uma série convergente que pode ser calculada pela fórmula da série geométrica infinita a 1 1 − q {\displaystyle {\frac {a_{1}}{1-q}}}

{\frac {a_{1}}{1-q}}

: ∑ k = 0 ∞ ( 0 , 31 ⋅ 1 100 k ) = 0 , 31 1 − 1 100 = 0 , 31 99 100 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot {\frac {1}{100^{k}}}\right)={\frac {0,31}{1-{\frac {1}{100}}}}={\frac {0,31}{\frac {99}{100}}}}

\sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot {\frac {1}{100^{k}}}\right)={\frac {0,31}{1-{\frac {1}{100}}}}={\frac {0,31}{\frac {99}{100}}}

Simplificando essa fração, obtemos a geratriz da dízima: 0 , 31 99 100 = 31 99 {\displaystyle {\frac {0,31}{\frac {99}{100}}}={\frac {31}{99}}}

{\frac {0,31}{\frac {99}{100}}}={\frac {31}{99}}

Portanto, 0 , 31 ¯ = 31 99 {\displaystyle 0,{\overline {31}}={\frac {31}{99}}}

0,{\overline {31}}={\frac {31}{99}}

De modo geral, se temos uma dízima periódica com uma parte inteira a {\displaystyle a} $a$ , um período p {\displaystyle p} $p$ composto por x {\displaystyle x} $x$ algarismos e um anteperíodo b {\displaystyle b} $b$ composto por y {\displaystyle y} $y$ algarismos, podemos representar a dízima como uma série infinita:

a + 10 − y ⋅ {\displaystyle a+10^{-y}\cdot \left}

a+10^{-y}\cdot \left

No caso da dízima periódica simples, as variáveis b {\displaystyle b}

b

e y {\displaystyle y}

y

são nulas, visto que não há anteperíodo. Desta forma, podemos simplificar a fórmula: a + ∑ k = 0 ∞ ( p 10 x ( k + 1 ) ) {\displaystyle a+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {p}{10^{x(k+1)}}}\right)}

a+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {p}{10^{x(k+1)}}}\right)

Exemplo

Seja a dízima periódica composta 1 , 2 34 ¯ {\displaystyle 1,2{\overline {34}}} $1,2{\overline {34}}$ , podemos escrevê-la como uma série infinita utilizando o recurso acima, em que:

a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ , b = 2 {\displaystyle b=2} $b=2$ , y = 1 {\displaystyle y=1} $y=1$ , p = 34 {\displaystyle p=34} $p=34$ e x = 2 {\displaystyle x=2} $x=2$ .

a + 10 − y ⋅ = 1 + 10 − 1 ⋅ = 1 , 2 + 1 10 ⋅ {\displaystyle a+10^{-y}\cdot \left=1+10^{-1}\cdot \left=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot \left} $a+10^{-y}\cdot \left=1+10^{-1}\cdot \left=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot \left$

Simplificando:

= 1 , 2 + 1 10 ( 34 10 2 + 34 10 4 + 34 10 6 + . . . ) {\displaystyle =1,2+{\frac {1}{10}}\left({\frac {34}{10^{2}}}+{\frac {34}{10^{4}}}+{\frac {34}{10^{6}}}+\,...\right)} $=1,2+{\frac {1}{10}}\left({\frac {34}{10^{2}}}+{\frac {34}{10^{4}}}+{\frac {34}{10^{6}}}+\,...\right)$

= 1 , 2 + 0 , 034 + 0 , 00034 + 0 , 0000034 + . . . {\displaystyle =1,2+0,034+0,00034+0,0000034\,+\,...} $=1,2+0,034+0,00034+0,0000034\,+\,...$

= 1 , 2343434... ou 1 , 2 34 ¯ {\displaystyle =1,2343434...\;\;{\text{ou}}\;\;1,2{\overline {34}}} $=1,2343434...\;\;{\text{ou}}\;\;1,2{\overline {34}}$

Como k {\displaystyle k} $k$ é uma variável indexada que sempre será um número natural após o incremento de uma unidade no somatório, podemos afirmar que a condição ∣ q ∣< 1 {\displaystyle \mid \ q\mid <1} $\mid \ q\mid <1$ será sempre verdadeira e portanto, teremos uma série convergente, o que nos possibilita encontrar a fração geratriz da dízima a partir da fórmula da série geométrica infinita:

∑ k = 0 ∞ a 1 ⋅ q k = a 1 1 − q , ∣ q ∣< 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{1}\cdot q^{k}={\frac {a_{1}}{1-q}},\,\mid q\mid <1} $\sum _{k=0}^{\infty }a_{1}\cdot q^{k}={\frac {a_{1}}{1-q}},\,\mid q\mid <1$

Neste caso, a 1 = 0 , 34 {\displaystyle a_{1}=0,34} $a_{1}=0,34$ , e como o período possui 2 algarismos, q = 10 − 2 = 1 100 {\displaystyle q=10^{-2}={\frac {1}{100}}} $q=10^{-2}={\frac {1}{100}}$ .

1 , 2 + 1 10 ⋅ ∑ k = 0 ∞ ( 34 10 2 ( k + 1 ) ) = 1 , 2 + 1 10 ⋅ a 1 1 − q = 1 , 2 + 1 10 ⋅ 0 , 34 1 − 1 100 = 1 , 2 + 34 990 = 611 495 {\displaystyle 1,2+{\frac {1}{10}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {34}{10^{2(k+1)}}}\right)=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {a_{1}}{1-q}}=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {0,34}{1-{\frac {1}{100}}}}=1,2+{\frac {34}{990}}={\frac {611}{495}}} $1,2+{\frac {1}{10}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {34}{10^{2(k+1)}}}\right)=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {a_{1}}{1-q}}=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {0,34}{1-{\frac {1}{100}}}}=1,2+{\frac {34}{990}}={\frac {611}{495}}$

Portanto, 1 , 2 34 ¯ = 611 495 {\displaystyle 1,2{\overline {34}}={\frac {611}{495}}} $1,2{\overline {34}}={\frac {611}{495}}$ .

Ver também

Referências

↑ a b c d João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica, capítulo IV. Texto disponível no wikisource
↑ «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 15 de julho de 2015
↑ TAVARES, Americo. «Números Racionais: Dízimas Periódicas e Série Geométrica». Hi7.co. Consultado em 20 jan. 2021
↑ LOPES, Rodrigo M. (25 out. 2019). «SEQUÊNCIAS E SÉRIES GEOMÉTRICAS: UMA ABORDAGEM COM VÁRIOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA». XXIII EBRAPEM - XXIII Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática. Consultado em 20 jan. 2021