Fecho algébrico

Aspeto mover para a barra lateral ocultar

Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. Ajude a melhorar este artigo inserindo citações no corpo do artigo. (Dezembro de 2013)

Dado um corpo F, dizemos que uma extensão E de F é um fecho algébrico de F quando E é uma extensão algébrica que é algebricamente fechada, isto é, contém todas as raizes de polinómios com coeficientes em F.

Em certo sentido (isomorfismo), cada corpo F tem apenas um fecho algébrico pelo que este é por vezes referido como o fecho algébrico de F.

Teoremas

• Unicidade: se dois corpos E 1 {\displaystyle E_{1}} e E 2 {\displaystyle E_{2}} são fechos algébricos de F, então eles são isomorfos.
• Existência: o axioma da escolha permite construir o fecho algébrico de qualquer corpo.

Exemplos

• O fecho algébrico do corpo dos números racionais é chamado de conjuntos dos números algébricos. Nem todo número algébrico é real (as soluções de x2 + 1 = 0, por exemplo), e nem todo número real é algébrico (estes números são chamados de números transcendentes reais; e e pi são exemplos).
• O fecho algébrico do corpo dos números reais é o corpo dos números complexos.

Ligações externas

• Algebraic Closure - MathWorld (em inglês)

Referências

• Martin, Paulo A. (2010). Grupos, Corpos e Teoria de Galois. São Paulo: Livraria da Física. p. 228--231. ISBN 9788578610654 
• Fraleigh, John B. (1994). A First Course in Abstract Algebra (em inglês) 5 ed. : Addilson-Wesley. p. 418--420. ISBN 0201534673