Lei de Snell
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Em ótica, a lei de Snell, ou simplesmente lei de refração, resume-se a uma expressão que dá o desvio angular sofrido por um raio de luz ao passar para um meio com índice de refração diferente do qual ele estava percorrendo. Em outras palavras, descreve a relação entre os ângulos de incidência e refração, quando referindo-se a luz ou outras ondas passando através de uma fronteira (interface) entre dois meios isotrópicos diferentes, tais como água e vidro. A lei de Snell-Descartes refere-se aos cientistas Willebrord Snellius e René Descartes.
Refração da luz na interface entre dois diferentes índices de refração, com
n
2
>
n
1
{\displaystyle n_{2}>n_{1}}
.
.
Para um raio de luz monocromática passando de um meio para o outro, é constante o produto do seno do ângulo, formado pelo raio e pela normal, com o índice de refração em que se encontra esse raio. Matematicamente:
n 1 ⋅ sin θ 1 = n 2 ⋅ sin θ 2 {\displaystyle n_{1}\cdot \sin \theta _{1}=n_{2}\cdot \sin \theta _{2}}
em que θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} e θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} são os ângulos de incidência e refração, respectivamente, e n 1 {\displaystyle n_{1}} e n 2 {\displaystyle n_{2}} os índices de refração dos dois meios.
e
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}}
são os ângulos de incidência e refração, respectivamente, e
n
1
{\displaystyle n_{1}}
e
n
2
{\displaystyle n_{2}}
os índices de refração dos dois meios.
Índice de refração
Para determinar o índice de refração ( n {\displaystyle n} ) deve-se utilizar a expressão:
n = c v {\displaystyle n={\frac {c}{v}}}
) deve-se utilizar a expressão:
Na qual:
- c {\displaystyle c} é a velocidade da luz no vácuo (constante);
- v {\displaystyle v} é a velocidade no meio escolhido; e
- n {\displaystyle n} é o índice de refração do meio escolhido
é a velocidade da luz no vácuo (constante);
é a velocidade no meio escolhido; eExplicação
A lei de Snell é usada para determinar a direção dos raios de luz através de meios refrativos com índices de refração distintos. Os índices de refração dos meios, n 1 {\displaystyle n_{1}} , n 2 {\displaystyle n_{2}} e assim por diante, são usados para representar o fator pelo qual a velocidade de um raio de luz diminui ao deslocar-se através de um meio refrativo, como vidro ou água, em oposição à sua velocidade no vácuo.
Conforme a luz cruza a fronteira entre os meios, dependendo dos índices de refração relativos entre os dois, a luz poderá ser refratada para um ângulo menor ou maior. Esses ângulos são medidos com respeito à linha normal, representada perpendicularmente à fronteira. No caso onde luz desloca-se do ar para a água, a luz seria refratada em direção à linha normal, pois a velocidade da luz diminui na água; já a luz deslocando-se da água para o ar seria refratada na direção oposta á linha normal.
A refração entre duas superfícies é denominada reversível pois se todas as condições forem idênticas, os ângulos seriam os mesmos para a luz movendo-se na direção oposta.
A Lei de Snell é geralmente verdadeira somente para meios isotrópicos (como o vidro). Em meios anisotrópicos como alguns cristais, a birrefringência pode dividir o raio refratado em dois raios, o ordinário ou raio-o que segue a Lei de Snell, e o outro extraordinário ou raio-e que pode não ser coplanar ao raio incidente.
Quando a luz ou outra onda envolvida é monocromática, isto é, frequência única, a Lei de Snell pode também ser expressa em termos de uma razão dos comprimentos de onda do raio em cada meio, λ1 e λ2:
sin θ 1 sin θ 2 = v 1 v 2 = λ 1 λ 2 {\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}
Derivações e fórmula
Frente de onda de um ponto de origem no contexto da Lei de Snell. A região abaixo da linha cinza possui um índice de refração maior, e proporcionalmente menor velocidade da luz, do que a região acima dela.
A Lei de Snell pode ser derivada pelo princípio de Fermat, que diz que a luz viaja pelo caminho que leva o menor tempo. Ao tomar a derivada do comprimento do caminho óptico, o ponto estacionário é encontrado, dando o caminho tomado pela luz (Embora deva-se ter em mente que o resultado não mostra a luz utilizando o caminho de menor tempo, mas sim o caminho que é estacionário para pequenas variações, de modo que há casos onde a luz na verdade toma o caminho que leva o maior tempo, como em um espelho esférico). Em uma analogia clássica, o meio de menor índice de refração pode ser visto como uma praia, e o de maior índice de refração como o oceano, e o modo mais rápido de um salva-vidas na praia chegar até uma pessoa no oceano é percorrendo o caminho que segue a Lei de Snell.
Alternativamente, a Lei de Snell pode ser derivada utilizando a interferência de todos os caminhos possíveis da onda de luz da fonte até o observador—que resultam em interferência destrutiva em todos os pontos exceto no extremo da fase (onde a interferência será construtiva}— os quais tornam-se caminhos.
Outra maneira de derivar a Lei de Snell envolve uma aplicação das condições gerais de contorno das equações de Maxwell para radiação eletromagnética.
Ainda outra maneira de derivar a Lei de Snell é baseada em considerações de simetria de translação. Por exemplo, uma superfície homogênea perpendicular à direção z não pode mudar o momento transverso. Já que o vetor de propagação k → {\displaystyle {\vec {k}}} é proporcional ao momento do fóton, a direção da propagação transversa ( k x , k y , 0 ) {\displaystyle (k_{x},k_{y},0)} deve permanecer a mesma em ambas as regiões. Presumindo sem perda de energia um plano de incidência no plano z , x {\displaystyle z,x} k x Região 1 = k x Região 2 {\displaystyle k_{x{\text{Região}}_{1}}=k_{x{\text{Região}}_{2}}} . Usando a dependência conhecida do número de onda no índice de refração do meio, derivamos a Lei de Snell.
k x Região 1 = k x Região 2 {\displaystyle k_{x{\text{Região}}_{1}}=k_{x{\text{Região}}_{2}}\,} n 1 k 0 sin θ 1 = n 2 k 0 sin θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,} n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}
é proporcional ao momento do fóton, a direção da propagação transversa
(
k
x
,
k
y
,
0
)
{\displaystyle (k_{x},k_{y},0)}
deve permanecer a mesma em ambas as regiões. Presumindo sem perda de energia um plano de incidência no plano
z
,
x
{\displaystyle z,x}
k
x
Região
1
=
k
x
Região
2
{\displaystyle k_{x{\text{Região}}_{1}}=k_{x{\text{Região}}_{2}}}
. Usando a dependência conhecida do 
n
1
k
0
sin
θ
1
=
n
2
k
0
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,}
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}
Sendo k 0 = 2 π λ 0 = ω c {\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}} é o número de onda no vácuo. Perceba que nenhuma superfície é realmente homogênea, pelo menos em escala atômica. Ainda assim simetria translacional completa é uma excelente aproximação quando a região é homogênea na escala do comprimento de onda da luz.
é o Forma vetorial
Dado um vetor de luz normalizado l (apontando da fonte de luz em direção à superfície) e um vetor normalizado do plano normal n, podemos encontrar os raios normalizados refletido e refratado:
cos θ 1 = n ⋅ ( − l ) {\displaystyle \cos \theta _{1}=\mathbf {n} \cdot (-\mathbf {l} )} cos θ 2 = 1 − ( n 1 n 2 ) 2 ( 1 − ( cos θ 1 ) 2 ) {\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v r e f l e t i d o = l + ( 2 cos θ 1 ) n {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refletido} }=\mathbf {l} +\left(2\cos \theta _{1}\right)\mathbf {n} } v r e f r a t a d o = ( n 1 n 2 ) l + ( n 1 n 2 cos θ 1 − cos θ 2 ) n {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refratado} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\mathbf {l} +\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} }
cos
θ
2
=
1
−
(
n
1
n
2
)
2
(
1
−
(
cos
θ
1
)
2
)
{\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}}
v
r
e
f
l
e
t
i
d
o
=
l
+
(
2
cos
θ
1
)
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refletido} }=\mathbf {l} +\left(2\cos \theta _{1}\right)\mathbf {n} }
v
r
e
f
r
a
t
a
d
o
=
(
n
1
n
2
)
l
+
(
n
1
n
2
cos
θ
1
−
cos
θ
2
)
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refratado} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\mathbf {l} +\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} }
Nota: cos θ 1 {\displaystyle \cos \theta _{1}} deve ser positivo. Caso contrario, use
v r e f r a t a d o = ( n 1 n 2 ) l + ( n 1 n 2 cos θ 1 + cos θ 2 ) n . {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refratado} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\mathbf {l} +\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} .}
deve ser positivo. Caso contrario, use
Exemplo:
l = { 0.707107 , − 0.707107 } , n = { 0 , 1 } , n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle \mathbf {l} =\{0.707107,-0.707107\},~\mathbf {n} =\{0,1\},~{\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} cos θ 1 = 0.707107 , cos θ 2 = 0.771362 {\displaystyle \mathbf {~} \cos \theta _{1}=0.707107,~\cos \theta _{2}=0.771362} v r e f l e t i d o = { 0.707107 , 0.707107 } , v r e f r a t a d o = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refletido} }=\{0.707107,0.707107\},~\mathbf {v} _{\mathrm {refratado} }=\{0.636396,-0.771362\}}
cos
θ
1
=
0.707107
,
cos
θ
2
=
0.771362
{\displaystyle \mathbf {~} \cos \theta _{1}=0.707107,~\cos \theta _{2}=0.771362}
v
r
e
f
l
e
t
i
d
o
=
{
0.707107
,
0.707107
}
,
v
r
e
f
r
a
t
a
d
o
=
{
0.636396
,
−
0.771362
}
{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refletido} }=\{0.707107,0.707107\},~\mathbf {v} _{\mathrm {refratado} }=\{0.636396,-0.771362\}}
Os cossenos podem ser reutilizados nas equações de Fresnel para encontrar a intensidade dos raios resultantes.
A reflexão interna total é indicada por um radicando negativo na equação para cos θ 2 {\displaystyle \cos \theta _{2}} . Nesse caso, uma onda evanescente é produzida, a qual decai rapidamente a partir da superfície e adentrando o segundo meio. A conservação de energia é mantida pela circulação da energia através da fronteira, em que a média da transmissão de energia de rede é zero.
. Nesse caso, uma onda evanescente é produzida, a qual decai rapidamente a partir da superfície e adentrando o segundo meio. A conservação de energia é mantida pela circulação da energia através da fronteira, em que a média da transmissão de energia de rede é zero.
Demonstração de não-refração à ângulos maiores que o ângulo crítico.
Reflexão interna total e ângulo crítico
Quando a luz viaja de um meio com índice de refração maior para um com índice de refração menor, a Lei de Snell parece necessitar em alguns casos (quando o ângulo de incidência é suficientemente grande) que o seno do ângulo de refração seja maior que um. Isso claramente é impossível, e a luz nesses casos é completamente refletida pela fronteira, um fenômeno conhecido como reflexão interna total O maior ângulo de incidência possível que ainda resulta em um raio refratado é chamado de ângulo crítico; nesse caso o raio refratado viaja ao longo da fronteira entre os dois meios.
Refração da luz na fronteira entre dois meios.
Por exemplo, considere um raio de luz movendo-se da água para o ar com um ângulo de incidência de 50°. Os índices de refração da água e do ar são aproximadamente 1.333 e 1, respectivamente, então a Lei de Snell nos dá a relação.
sin θ 2 = n 1 n 2 sin θ 1 = 1.333 1 ⋅ sin ( 50 ∘ ) = 1.333 ⋅ 0.766 = 1.021 , {\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,}
A qual é impossível satisfazer. O ângulo crítico θcrit é o valor de θ1 para o qual θ2 é igual a 90°:
θ crit = arcsin ( n 2 n 1 sin θ 2 ) = arcsin n 2 n 1 = 48.6 ∘ . {\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.}
Dispersão
Em diversos meios propagadores de onda, a velocidade da onda muda conforme a frequência ou o comprimento de onda das ondas; Isso é verdadeiro para a propagação da luz na maioria dos meios transparentes, com exceção do vácuo. Esses meios são chamados de dispersivos. O resultado é que os ângulos determinados pela Lei de Snell também dependem da frequência e do comprimento de onda, de modo que um raio com comprimentos de ondas mistos, como a luz branca, irá se espalhar ou dispersar. Tal dispersão de luz no vidro ou na água oculta a origem dos arco-íris e de outros fenômenos ópticos, nos quais diferentes comprimentos de onda apresentam-se como diferentes cores.
Em instrumentos ópticos, a dispersão leva à aberração cromática; um borrado dependente da cor que algumas vezes é efeito do limite de resolução. Isso ocorre especialmente em telescópios de refração, antes da invenção das lentes objetivas acromáticas.
Meios condutores, absorvedores ou com perdas
Em um meio condutor, a permissividade e o índice de refração são valores complexos. Consequentemente, o ângulo de refração e o vetor de onda também são. Isso implica que, enquanto as superfícies de uma fase real constante são planas cujas normais fazem um ângulo igual ao ângulo de refração com a normal da fronteira, as superfícies de amplitude constante, em contraste, são planos paralelos à própria fronteira. Como esses dois planos geralmente não coincidem, a onda é dita não-homogênea. A onda refratada é exponencialmente atenuada, com expoente proporcional à componente imaginária do índice de refração.
Ver também
Referências
- ↑ Textos de Apoio ao Professor de Física, v.18 n.2 2007, Instituto de Física – UFRGS,
- ↑ Fassarella, Lúcio (2007). «Lei de Snell generalizada». Revista Brasileira de Ensino de Física: 215–224. ISSN 1806-1117. doi:10.1590/S1806-11172007000200006. Consultado em 2 de julho de 2022
- ↑ John D Joannopoulos, Johnson SG, Winn JN & Meade RD (2008). Photonic Crystals: Molding the Flow of Light 2nd ed. Princeton NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12456-8 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
- ↑ Andrew S. Glassner (1989). An Introduction to Ray Tracing. : Morgan Kaufmann. ISBN 0-12-286160-4
- ↑ Aula 30 – Reflexão e Refração da Luz, Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Departamento de Física, Arquivado em 23 de outubro de 2008, no Wayback Machine.
- ↑ Born and Wolf,sec.13.2, "Refraction and reflection at a metal surface"
- ↑ Hecht, Optics, sec. 4.8, Optical properties of metals.
- ↑ S. J. Orfanidis, Electromagnetic Waves & Antennas, sec. 7.9, Oblique Incidence on a Lossy Medium,