Quadripotencial eletromagnético

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O quadripotencial eletromagnético é um quadrivetor definido em unidades SI (e unidades gaussianas em parênteses) como

A α = ( ϕ c , A → ) ( A a = ( ϕ , A → ) ) {\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)\qquad \left(A^{a}=(\phi ,{\vec {A}})\right)}

A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)\qquad \left(A^{a}=(\phi ,{\vec {A}})\right)

na qual ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ é o potencial elétrico, e A → {\displaystyle {\vec {A}}} ${\vec {A}}$ é o potencial magnético, um vetor potencial.

Os campos elétricos e magnéticos associados com estes quadripotenciais são:

E → = − ∇ → ϕ − ∂ A → ∂ t ( − ∇ → ϕ − 1 c ∂ A → ∂ t ) {\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)}

{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)

B → = ∇ → × A → {\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}

{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}

Ele é útil para agrupar os potenciais nesta forma porque A α {\displaystyle A_{\alpha }} $A_{\alpha }$ é um vetor covariante de Lorentz, significando que ele transforma-se do mesmo modo como as coordenadas espaço-tempo (t, x) sob transformações no grupo de Lorentz: rotações e transformação de Lorentz. Como resultado, o produto interno

A α A α = | A → | 2 − ϕ 2 c 2 ( A a A a = | A → | 2 − ϕ 2 ) {\displaystyle A^{\alpha }A_{\alpha }=|{\vec {A}}|^{2}-{\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}\qquad \left(A^{a}A_{a}\,=|{\vec {A}}|^{2}-\phi ^{2}\right)}

A^{\alpha }A_{\alpha }=|{\vec {A}}|^{2}-{\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}\qquad \left(A^{a}A_{a}\,=|{\vec {A}}|^{2}-\phi ^{2}\right)

é o mesmo em cada quadro referencial inercial.

Frequentemente, físicos empregam a condição gauge de Lorenz ∂ α A α = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0} $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$ para simplificar as equações de Maxwell como:

◻ 2 A α = − μ 0 J α ( ◻ 2 A α = − 4 π c J α ) {\displaystyle \Box ^{2}A_{\alpha }=-\mu _{0}J_{\alpha }\qquad \left(\Box ^{2}A_{\alpha }=-{\frac {4\pi }{c}}J_{\alpha }\right)}

\Box ^{2}A_{\alpha }=-\mu _{0}J_{\alpha }\qquad \left(\Box ^{2}A_{\alpha }=-{\frac {4\pi }{c}}J_{\alpha }\right)

onde J α {\displaystyle J_{\alpha }} $J_{\alpha }$ são os componentes do quadricorrente,

◻ 2 = ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 {\displaystyle \Box ^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}

\Box ^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}

é o operador d'Alembertiano.

Em termos dos pontenciais escalar e vetorial, esta última equação torna-se:

◻ 2 ϕ = − ρ ϵ 0 ( ◻ 2 ϕ = − 4 π ρ ) {\displaystyle \Box ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box ^{2}\phi =-4\pi \rho \right)}

\Box ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box ^{2}\phi =-4\pi \rho \right)

◻ 2 A → = − μ 0 j → ( ◻ 2 A → = − 4 π c j → ) {\displaystyle \Box ^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)}

\Box ^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)

Referências

Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
Jackson, J D (1999). Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. ISBN ISBN 0-471-30932-X.