Teorema de Lagrange (teoria dos números)

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Na teoria dos números, o teorema de Lagrange é uma afirmação, que leva o nome de Joseph-Louis Lagrange, sobre a frequência com que um polinômio sobre os inteiros pode ser avaliado como um múltiplo de um primo fixo. Mais precisamente, afirma que se p {\displaystyle p} $p$ é um número primo e f ( x ) ∈ Z {\displaystyle \textstyle f(x)\in \mathbb {Z} } $\textstyle f(x)\in \mathbb {Z}$ é um polinômio com coeficientes inteiros, então:

todo coeficiente de f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ é divisível por p {\displaystyle p} $p$ , ou
f ( x ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}} $f(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ tem no máximo g r a u f ( x ) {\displaystyle \mathrm {grau} \ f(x)} $\mathrm {grau} \ f(x)$ soluções incongruentes

onde g r a u f ( x ) {\displaystyle \mathrm {grau} \ f(x)} $\mathrm {grau} \ f(x)$ é o grau do polinômio f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ . As soluções são "incongruentes" se não diferirem por um múltiplo de p {\displaystyle p} $p$ . Se o módulo não for primo, então é possível que haja mais de g r a u f ( x ) {\displaystyle \mathrm {grau} \ f(x)} $\mathrm {grau} \ f(x)$ soluções.

Uma prova do teorema de Lagrange

As duas idéias principais são as seguintes. Seja g ( x ) ∈ ( Z / p ) {\displaystyle g(x)\in (\mathbb {Z} /p)} $g(x)\in (\mathbb {Z} /p)$ o polinômio obtido de f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ tomando os coeficientes mod p {\displaystyle {\bmod {p}}} ${\bmod {p}}$ . Agora:

f ( k ) {\displaystyle f(k)} $f(k)$ é divisível por p {\displaystyle p} $p$ se e somente se g ( k ) = 0 {\displaystyle g(k)=0} $g(k)=0$ ; e
g ( x ) {\displaystyle g(x)} $g(x)$ não tem mais do que g r a u g ( x ) {\displaystyle \mathrm {grau} \ g(x)} $\mathrm {grau} \ g(x)$ raízes.

Mais rigorosamente, começando a observar-se que g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} $g(x)=0$ se e somente se cada coeficiente de f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ é divisível por p {\displaystyle p} $p$ . Suponha que g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} $g(x)\neq 0$ ; seu grau é, portanto, bem definido. É fácil ver que g r a u g ( x ) ≤ g r a u f ( x ) {\displaystyle {\displaystyle \mathrm {grau} \ g(x)}\leq {\displaystyle \mathrm {grau} \ f(x)}} ${\displaystyle \mathrm {grau} \ g(x)}\leq {\displaystyle \mathrm {grau} \ f(x)}$ . Para provar (1), primeiro observe que podemos calcular g ( k ) {\displaystyle g(k)} $g(k)$ diretamente, ou seja, conectando (a classe de resíduo de) k {\displaystyle k} $k$ e executando aritmética em Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} $\mathbb {Z} /p$ , ou reduzindo f ( k ) mod p {\displaystyle f(k){\bmod {p}}} $f(k){\bmod {p}}$ . Logo, g ( k ) = 0 {\displaystyle g(k)=0} $g(k)=0$ se e somente se f ( k ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle f(k)\equiv 0{\pmod {p}}} $f(k)\equiv 0{\pmod {p}}$ , ou seja, se e somente se f ( k ) {\displaystyle f(k)} $f(k)$ for divisível por p {\displaystyle p} $p$ . Para provar (2), observe que Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} $\mathbb {Z} /p$ é um corpo, o que é um fato padrão (uma prova rápida é notar que, como p {\displaystyle p} $p$ é primo, Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} $\mathbb {Z} /p$ é um domínio integral finito, portanto, é um corpo). Outro fato padrão é que um polinômio diferente de zero sobre um campo tem no máximo tantas raízes quanto seu grau; isso segue do algoritmo de divisão.

Finalmente, observe-se que duas soluções f ( k 1 ) ≡ f ( k 2 ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle f(k_{1})\equiv f(k_{2})\equiv 0{\pmod {p}}} $f(k_{1})\equiv f(k_{2})\equiv 0{\pmod {p}}$ são incongruentes se e somente se k 1 ≢ k 2 ( mod p ) {\displaystyle k_{1}\not \equiv k_{2}{\pmod {p}}} $k_{1}\not \equiv k_{2}{\pmod {p}}$ . Juntando tudo, o número de soluções incongruentes por (1) é o mesmo que o número de raízes de g ( x ) {\displaystyle g(x)} $g(x)$ , que por (2) é no máximo g r a u g ( x ) {\displaystyle \mathrm {grau} \ g(x)} $\mathrm {grau} \ g(x)$ , que é no máximo g r a u f ( x ) {\displaystyle \mathrm {grau} \ f(x)} $\mathrm {grau} \ f(x)$ .

Referências

↑ a b c d e LeVeque, William J. (2002) . Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. p. 42. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001
↑ a b c d e Tattersall, James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters 2nd ed. : Cambridge University Press. p. 198. ISBN 0-521-85014-2. Zbl 1071.11002