Teoria das probabilidades
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| Teoria das probabilidades |
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A teoria das probabilidades é o estudo matemático das probabilidades. Pierre Simon Laplace é considerado o fundador da teoria das probabilidades.
Os teoremas de base das probabilidades podem ser demonstrados a partir dos axiomas de probabilidade e da teoria de conjuntos.
Os teoremas seguintes supõem que o universo Ω é um conjunto finito, o que nem sempre é o caso, como por exemplo no caso do estudo de uma variável aleatória que segue uma distribuição normal.
- A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é igual a 1.
- Para todos os eventos arbitrários A1 e A2, a probabilidade de os eventos se realizarem simultaneamente é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos tanto em A1 como em A2. Se a intersecção é vazia, então a probabilidade é igual a zero.
- Para todos os eventos arbitrários A1 e A2, a probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos em A1 ou A2.
As fórmulas seguintes exprimem matematicamente as propriedades acima:
∑ ω ∈ Ω P ( { ω } ) = P ( ⋃ ω ∈ Ω { ω } ) = 1 {\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }P\left(\left\{\omega \right\}\right)=P\left(\bigcup _{\omega \in \Omega }\left\{\omega \right\}\right)=1} P = ∑ ω ∈ A 1 ∩ A 2 P ( { ω } ) {\displaystyle P\left=\sum _{\omega \in A_{1}\cap A_{2}}P\left(\left\{\omega \right\}\right)} P = ∑ ω ∈ A 1 ∪ A 2 P ( { ω } ) {\displaystyle P\left=\sum _{\omega \in A_{1}\cup A_{2}}P\left(\left\{\omega \right\}\right)}
P
=
∑
ω
∈
A
1
∩
A
2
P
(
{
ω
}
)
{\displaystyle P\left=\sum _{\omega \in A_{1}\cap A_{2}}P\left(\left\{\omega \right\}\right)}
P
=
∑
ω
∈
A
1
∪
A
2
P
(
{
ω
}
)
{\displaystyle P\left=\sum _{\omega \in A_{1}\cup A_{2}}P\left(\left\{\omega \right\}\right)}
Eventos mutuamente exclusivos
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}
Exemplo
Podemos estimar a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis, dadas as probabilidade de cada um dos dois eventos:
P ( A ) = P ( m e n i n o d e o l h o s c a s t a n h o s ) = 3 / 8 {\displaystyle P(A)=P(menino\ de\ olhos\ castanhos)=3/8} P ( B ) = P ( m e n i n a d e o l h o s a z u i s ) = 1 / 8 {\displaystyle P(B)=P(menina\ de\ olhos\ azuis)=1/8}
P
(
B
)
=
P
(
m
e
n
i
n
a
d
e
o
l
h
o
s
a
z
u
i
s
)
=
1
/
8
{\displaystyle P(B)=P(menina\ de\ olhos\ azuis)=1/8}
Como é impossível nascer uma criança que seja ao mesmo tempo um menino de olhos castanhos e uma menina de olhos azuis, estes são eventos mutuamente exclusivos, e podemos proceder usando a fórmula citada acima:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 3 / 8 + 1 / 8 = 1 / 2 {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)=3/8+1/8=1/2}
Observações
As probabilidades teóricas são utilizadas nessas situações em que o espaço amostral apresenta resultados conhecidos e com probabilidades iguais de ocorrer. Imagine um lançamento de um dado comum. Mesmo que todos os resultados tenham a mesma chance de ocorrer,o resultado que será observado é imprevisível. O lançamento de dado comuns é um experimento aleatório.
Ver também
Referências
- ↑ Hájek, Alan. «Interpretations of Probability». Consultado em 27 de março de 2019
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