Número quadrado
Aspeto mover para a barra lateral ocultarNúmero quadrado, em matemática, é um inteiro que pode ser escrito como o quadrado de outro número inteiro. Ou ainda se a raiz quadrada de um número inteiro for outro inteiro, o primeiro é um número quadrado.
Exemplos
Os primeiros 50 números quadrados são:
12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521 402 = 1600 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500Faculdades
A partir do número 1 todos os números quadrados resultam duma sucessão matemática.
12 = 1 22 = 1+3=4 32 = 4+5=9 42 = 9+7=16 52 = 16+9=25 62 = 25+11=36 72 = 36+13=49 82 = 49+15=64 92 = 64+17=81 102 = 81+19=100E assim por diante. O 2º somando deve-se a inicialmente começar como n=1, a seguir n+2=3, n+4=5, n+6=7, e assim por diante; Como visto todos os 2º somados são números ímpares pelo que se torna muito fácil calcular números quadrados fazendo apenas somas, desde que se pegue numa parte já calculada da sucessão. O 1º somando é sempre o número quadrado anterior. O 2º somando resulta da sucessão n=1, n1=n+2, n2=n1+2, n3=n2+2, assim por diante.
Todos os números quadrados são quadrados devido a serem um valor inteiro possível da área de um quadrado sempre que a raiz quadrada do valor da área do quadrado for um número inteiro, sendo o valor do resultado da raiz quadrada o valor de qualquer um dos lados do quadrado.
Além do mais, a soma de dois naturais consecutivos sempre resulta na diferença entre o quadrado dos dois.
1+2=4-1 2+3=9-4 3+4=16-9Assim, pode-se criar uma generalização da forma:
(n)+(n+1)=(n+1)²-(n)² 2n+1=n²+2n+1-n² 2n+1=2n+1Propriedades
O número m é um número quadrado se e somente se pode ser representado por um quadrado de lado m:
| 1² = 1 | 
|
| 2² = 4 | 
|
| 3² = 9 | 
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| 4² = 16 | 
|
| 5² = 25 | 
|
A fórmula para o enésimo número quadrado é n2, que é igual a soma dos primeiros n números ímpares ( n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)} ); assim um quadrado (ver figuras acima) resulta do anterior mais um número ímpar de pontos. Por exemplo, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
); assim um quadrado (ver figuras acima) resulta do anterior mais um número ímpar de pontos. Por exemplo, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Lagrange provou que todo inteiro positivo é a soma de quatro números inteiros elevados ao quadrado.
Números quadrados pares e ímpares
- Quadrados de números pares são pares: (2n)2 = 4 n².
- Quadrados de números ímpares são ímpares: (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Por consequência, raízes quadradas de quadrados pares são pares e raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares.
Outra forma de se provar que raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares: faça de conta que n² seja ímpar; assim,
- n² - 1 é par, mas
- n² - 1 também pode ser escrita como (n+1)(n-1) e, portanto,
- (n+1)(n-1) é par
Para que (n+1)(n-1) seja par, ao menos um dentre (n+1) e (n-1) tem que ser par. Digamos que n seja par; se n for par, tanto (n+1) quanto (n-1) são ímpares e a proposição não é verdadeira; agora, se n for ímpar, ambos (n+1) e (n-1) são pares e assim a proposição é verificada: se n² é ímpar, n também é ímpar.
Quadrados de números racionais
Uma pergunta que pode ser formulada é a seguinte: seja N {\displaystyle N} um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um número racional p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} tal que ( p q ) 2 = N ? {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)^{2}=N?}
um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um 
tal que
(
p
q
)
2
=
N
?
{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)^{2}=N?}
Para N = 2 , {\displaystyle N=2,} a resposta é negativa, ou seja, a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Supõe-se que descoberta da irracionalidade de 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} foi feita por um matemático grego discípulo de Pitágoras.
a resposta é negativa, ou seja, a 
foi feita por um Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o critério de Eisenstein de irreducibilidade de um polinômio.
Curiosidades
"Todo quadrado perfeito par tem raiz par": 4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).
PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X2=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X2=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por X = 2 k . {\displaystyle X={\sqrt {2k}}.} Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja um quadrado perfeito requer k=2y^2, ou seja, X = 4 y 2 = 2 y , {\displaystyle X={\sqrt {4y^{2}}}=2y,} portanto um número par.
Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja um quadrado perfeito requer k=2y^2, ou seja,
X
=
4
y
2
=
2
y
,
{\displaystyle X={\sqrt {4y^{2}}}=2y,}
portanto um número par.
"Todo quadrado perfeito ímpar tem raiz ímpar": 1, 9, 25, etc. são impares e possuem raiz impar (1, 3, 5, ...).
PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contrariamente à hipótese, seria par.
As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da calculadora eletrônica, e ajudavam a conhecer de antemão que certos números não são quadrados perfeitos.
"Todo número terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito": basta avaliar os exemplos acima e outros mais.
PROVA: o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multiplicada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o produto de dois números iguais.
"Todo número par que não for divisível por 4, não é quadrado perfeito": 2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.
PROVA: Todo o número par é divisível por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2 x 2 = 4.
Ver também
Referências
- GUNDLACH, Bernard H. (1992). Números e numerais: Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo. Editora Atual. ISBN 8570564589.