Notação bra-ket

Parte de uma série de artigos sobre
Mecânica quântica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Equação de Schrödinger
Introdução Glossário História
Contexto Mecânica clássica Teoria quântica antiga Notação bra e ket Hamiltoniano Interferência
Fundamentos Complementaridade Decoerência Emaranhamento Estado Função de onda Colapso Incerteza Medição Não localidade Nível de energia Número quântico Simetria Sobreposição Tunelamento
Experimentos Apagador quântico Escolha adiada Davisson e Germer Desigualdade de Bell Desigualdade de CHSH Desigualdade de Leggett Desigualdade de Leggett e Garg Dupla fenda Escolha adiada de Wheeler Elitzur e Vaidman Franck e Hertz Gato de Schrödinger Mach e Zehnder Popper Stern e Gerlach
Formulações Visão geral Espaço de fase Heisenberg Interação Matriz Schrödinger Soma sobre históricos (integral de caminho)
Equações Dirac Klein e Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretações Bayesiana Colapso objetivo Conjunta Copenhagen de Broglie e Bohm Histórias consistentes Lógica quântica Muitos mundos Relacional Transacional Variáveis ocultas Locais Superdeterminismo Von Neumann e Wigner
Tópicos avançados Aprendizado de máquina quântico Caos quântico Ciência da informação quântica Computação quântica Matriz de densidade Mecânica estatística quântica Mecânica quântica relativística Paradoxo de EPR Teoria da dispersão Teoria de campos quântica
Cientistas Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
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Notação bra-ket é uma notação padrão para descrever estados quânticos na teoria da mecânica quântica. Ela também é utilizada para denotar vetores e funcional linear abstratos na matemática pura. É assim chamada por ser o produto interno de dois estados denotados por um bracket, ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ,}$ consistindo de uma parte esquerda, ${\displaystyle \langle \phi |,}$ denominada bra, e uma parte direita, ${\displaystyle |\psi \rangle ,}$ denominada ket. A notação foi criada por Paul Dirac, e por isso é também conhecida como notação de Dirac.^[1][2][3]

Em mecânica quântica, o estado físico de um sistema é identificado como um raio unitário em um espaço de Hilbert separável complexo, ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ ou, equivalentemente, por um ponto no espaço de Hilbert projetado de um sistema. Cada vetor no raio é chamado um "ket" e escrito como ${\displaystyle |\psi \rangle ,}$ que deve ser lido como "psi ket".^[4]

O ket pode ser visualizado como um vetor coluna e (dada uma base para o espaço de Hilbert) escrito por extenso em componentes,

${\displaystyle |\psi \rangle =(c_{0},c_{1},c_{2},...)^{T},}$

quando o espaço de Hilbert considerado possuir finitas dimensões. Em espaços de dimensão infinita, há infinitas componentes e o ket deve ser escrito em notação de função, precedido por um bra (veja abaixo). Por exemplo,

${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)=ce^{-ikx}.}$

Todo ket ${\displaystyle |\psi \rangle }$ possui um bra dual, escrito como ${\displaystyle \langle \psi |.}$ Por exemplo, o bra correspondente ao ${\displaystyle |\psi \rangle }$ acima deve ser um vetor linha, isto é,

${\displaystyle \langle \psi |=(c_{0}^{*},c_{1}^{*},c_{2}^{*},...).}$

Isto é um funcional linear contínuo de ${\displaystyle H}$ para os números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ definido por:

$${\displaystyle \langle \psi |:H\to \mathbb {C} :\langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\operatorname {IP} \left(|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle \right)}$$ para todo ket ${\displaystyle |\rho \rangle }$

onde ${\displaystyle \operatorname {IP} (\cdot ,\cdot )}$ denota o produto interno definido sobre o espaço de Hilbert. Aqui, uma vantagem da notação bra-ket torna-se clara: quando removemos os parênteses (como é comum em funcionais lineares) e fundimos junto com as barra, obtemos ${\displaystyle \langle \psi |\rho \rangle ,}$ que é a notação comum para produto interno no espaço de Hilbert. Esta combinação de um bra com um ket para formar um número complexo é chamada bra-ket ou bracket.

Em mecânica quântica a expressão ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ (matematicamente o coeficiente para a projeção de ${\displaystyle \psi }$ em ${\displaystyle \phi }$) é tipicamente interpretada como a amplitude de probabilidade para o estado ${\displaystyle \psi }$ para o colapso no estado ${\displaystyle \phi .}$ ^[5][6][7][8]

Referências

1. J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (Revised Edition) , Addison Wesley; 1993 ISBN 0-201-53929-2 (em inglês)

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