Integração por partes

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Cálculo
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Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
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Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveisFormalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:

∫ a b f ( x ) g ′ ( x ) d x = a b − ∫ a b f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x}

\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x

onde f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} $f(x)\,$ e g ( x ) {\displaystyle g(x)\,} $g(x)\,$ são funções de classe C1 no intervalo x ∈ {\displaystyle x\in \,} $x\in \,$ , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u} $\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$

onde u = f ( x ) {\displaystyle u\,=f(x)} $u\,=f(x)$ , d v = g ′ ( x ) d x {\displaystyle dv\,=g'(x)dx} $dv\,=g'(x)dx$ , v = g ( x ) {\displaystyle v\,=g(x)} $v\,=g(x)$ e d u = f ′ ( x ) d x {\displaystyle du\,=f'(x)dx} $du\,=f'(x)dx$ .

Exemplos

Algumas antiderivadas podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:

∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x = ( x − 1 ) e x {\displaystyle \int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=(x-1)e^{x}\,} $\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=(x-1)e^{x}\,$ + C

onde escolheu-se u ( x ) = x {\displaystyle u(x)=x\,} $u(x)=x\,$ e d v = e x d x {\displaystyle dv=e^{x}dx\,} $dv=e^{x}dx\,$ .

∫ 1 2 x ln ⁡ ( x ) d x = 1 2 − 1 2 ∫ 1 2 x d x {\displaystyle \int _{1}^{2}x\ln(x)dx=\left_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}xdx\,} $\int _{1}^{2}x\ln(x)dx=\left_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}xdx\,$

escolhendo u = ln ⁡ ( x ) {\textstyle u=\ln(x)} ${\textstyle u=\ln(x)}$ e d v = x d x {\textstyle dv=x\,dx} ${\textstyle dv=x\,dx}$ .

Demonstração

Pela regra do produto, temos que:

d d x = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)} ${d \over dx}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:

u ( x ) ∗ v ( x ) = ∫ u ′ ( x ) ∗ v ( x ) d x + ∫ u ( x ) ∗ v ′ ( x ) d x {\displaystyle u(x)*v(x)=\int u'(x)*v(x)dx+\int u(x)*v'(x)dx} $u(x)*v(x)=\int u'(x)*v(x)dx+\int u(x)*v'(x)dx$

Abrindo o u'(x) e v'(x):

u ( x ) ∗ v ( x ) = ∫ v ( x ) d u d x d x + ∫ u ( x ) ∗ d v d x d x {\displaystyle u(x)*v(x)=\int v(x){du \over dx}dx+\int u(x)*{dv \over dx}dx} $u(x)*v(x)=\int v(x){du \over dx}dx+\int u(x)*{dv \over dx}dx$

Simplificando as integrais, ficamos com:

u ( x ) ∗ v ( x ) = ∫ v ( x ) d u + ∫ u ( x ) d v {\displaystyle u(x)*v(x)=\int v(x)du+\int u(x)dv} $u(x)*v(x)=\int v(x)du+\int u(x)dv$

Conclui-se que:

u ( x ) ∗ v ( x ) − ∫ v ( x ) d u = ∫ u ( x ) d v {\displaystyle u(x)*v(x)-\int v(x)du=\int u(x)dv} $u(x)*v(x)-\int v(x)du=\int u(x)dv$

Ver também

Referências

↑ Anton, Howard (2014). Cálculo - Volume 1 10 ed. : Bookman. ISBN 9788582602256
↑ Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. : Cengage. ISBN 9788522112586

Bibliografia

Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.

Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.