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Em matemática, nomeadamente em análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua f {\displaystyle f} definida em um intervalo fechado {\displaystyle } e diferenciável em ( a , b ) , {\displaystyle (a,b),} se f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} então existe algum ponto c {\displaystyle c} em ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} onde a tangente ao gráfico de f {\displaystyle f} é horizontal, isto é, f ′ ( c ) = 0. {\displaystyle f'(c)=0.}
Colocando em linguagem comum, o teorema afirma que, em qualquer função contínua de intervalo delimitado por pontos A {\displaystyle A}
e B {\displaystyle B} de mesma altura, ou mesma coordenada vertical, há algum ponto C em que a derivada da função, isto é, sua taxa de variação instantânea é nula.É denominado em memória de Michel Rolle.
O enunciado do teorema é intuitivo considerando a exigência de continuidade da própria derivada (se existente) de uma função f ( x ) {\displaystyle f(x)} diferenciável nesse intervalo, sua derivada também o é, e como a derivada f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} começa positiva nas vizinhanças de A {\displaystyle A} e, conforme o valor de x {\displaystyle x} aumenta, torna-se negativa antes de chegar ao ponto B {\displaystyle B} , é necessário que exista um ponto tal que f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} . O mesmo raciocínio é aplicável a uma função de derivada inicialmente negativa e posteriormente positiva.
: se a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} são as coordenadas horizontais de pontos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} de mesma altura, extremos de um intervalo, então a função f ( x ) {\displaystyle f(x)} cresce, decresce ou permanece constante para x > a {\displaystyle x>a} , nas vizinhanças de A {\displaystyle A} . Se a função é constante, o resultado é trivial: sua derivada é nula em todo o intervalo. Se cresce, sabe-se que eventualmente tem de decrescer para retornar à mesma coordenada vertical do ponto A {\displaystyle A} para chegar ao ponto B {\displaystyle B} . Por f ( x ) {\displaystyle f(x)} ser contínua eComo f {\displaystyle f} teorema de Weierstrass, admite no intervalo {\displaystyle } um máximo M {\displaystyle M} e um mínimo m . {\displaystyle m.}
é contínua, então, peloPrimeiro, suponha que M = m {\displaystyle M=m}
. Então f {\displaystyle f} é constante no intervalo considerado e, consequentemente, a derivada é 0 {\displaystyle 0} em todos os pontos. Portanto, o teorema é verdadeiro neste caso.Suponha agora que M ≠ m {\displaystyle M\neq m}
. Então a função assume no interior do intervalo {\displaystyle } um máximo, um mínimo ou até os dois. Admita-se, sem perda de generalidade, que f {\displaystyle f} assume o valor máximo M {\displaystyle M} no ponto c {\displaystyle c} tal que a < c < b . {\displaystyle a<c<b.}Então, para valores de x < c {\displaystyle x<c}
, temos x − c < 0 {\displaystyle x-c<0} e também f ( x ) − f ( c ) ≤ 0 {\displaystyle f(x)-f(c)\leq 0} . Portanto,f ( x ) − f ( c ) x − c ≥ 0. {\displaystyle {\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\geq 0.}
Como f {\displaystyle f}
é diferenciável no intervalo ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , segue quelim x → c − f ( x ) − f ( c ) x − c = f ′ ( c ) ≥ 0. {\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\geq 0.}
Para valores de c {\displaystyle c}
à direita de x , {\displaystyle x,} temos x − c > 0 {\displaystyle x-c>0} e f ( x ) − f ( c ) ≤ 0 {\displaystyle f(x)-f(c)\leq 0} . Portanto,f ( x ) − f ( c ) x − c ≤ 0 , {\displaystyle {\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\leq 0,}
e, também,
lim x → c + f ( x ) − f ( c ) x − c = f ′ ( c ) ≤ 0. {\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\leq 0.}
Mas então conclui-se que
f ′ ( c ) ≥ 0 {\displaystyle f'(c)\geq 0}
e f ′ ( c ) ≤ 0 , {\displaystyle f'(c)\leq 0,}o que só é possível se
f ′ ( c ) = 0 , {\displaystyle f'(c)=0,}
provando-se assim o teorema.
A demonstração seria análoga se em vez de um ponto de máximo admitíssemos a existência de um ponto de mínimo no intervalo.