Medida de Haar

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Em análise matemática, a medida de Haar é uma forma de atribuir um volume invariante para subconjuntos de grupos localmente compactos e em seguida definir uma integral para funções nestes grupos.

Esta medida foi criada pelo matemático húngaro Alfréd Haar em 1932. A medida de Haar é utilizada em diversas partes da análise matemática, teoria dos números e teoria da estimativa.

Suponha que G seja um grupo topológico localmente compacto. Para esta definição, a σ-álgebra gerada por todos subconjuntos compactos de G será chamada de álgebra de Borel.

Se a é um elemento de G e S é um subconjunto de G, então nós definimos as translações para esquerda e para direita de S da seguinte forma:

• Translação a esquerda

${\displaystyle aS=\{a\cdot s:s\in S\}}$;

• Translação a direita

${\displaystyle Sa=\{s\cdot a:s\in S\}}$.

Uma medida μ nos subconjuntos de Borel de G é chamado de translação-esquerda-invariante se e somente se para todos subconjuntos de Borel S de G e todos a em G existe

${\displaystyle \mu (aS)=\mu (S)\quad }$

Uma definição similar é feita para a translação à direita invariante.

Acontece que existe, salvo um multiplicador constante positivo, apenas uma translação esquerda invariante adição sigma da medida regular μ no subconjunto de Borel G tal que ${\displaystyle \mu (U)>0}$ para qualquer conjunto de Borel aberto e não vazio U. De forma que uma medida seja chamada de medida de Haar esquerda. Segundo Paul Halmos^[1] μ será regular se e somente se

1. ${\displaystyle \mu (K)}$ é finito para todo conjunto compacto K;
2. Todo conjunto de Borel E é exteriormente regular;
3. :${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ aberto}}\}.}$
4. Todo conjunto de Borel R é internamente regular.
5. :${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compacto}}\}.}$

A existência da medida de Haar foi pela primeira vez comprada por André Weil.^[2] O caso especial para medidas invariantes em grupos compactos fora demonstrada em 1933 por Haar.^[3]

Utilizando a teoria geral da integral de Lebesgue, pode-se definir uma integral para toda função de medida de Borel f em G. Esta integral é chamada de Integral de Haar.

Se μ é a medida esquerda de Haar, então

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

para qualquer função integrável f. Isto é obtido imediatamente pelas funções escalonadas, sendo essencialmente a definição da variante esquerda.

• Dualidade de Pontryagin

Referências

• Lynn Loomis (1953). An Introduction to Abstract Harmonic Analysis (em inglês). : D. van Nostrand and Co. 
• André Weil (1971). Basic Number Theory (em inglês). : Academic Press 

• «Grupos Topológicos e aplicações à Medida de Haar» (PDF) 
• «On the Existence and Uniqueness of Invariant Measures on Locally Compact Groups» (PDF) (em inglês). - por Simon Rubinstein-Salzedo 

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